Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning ayrim tatbiqlari

Bernulli tenglamasi. Bu tenglama

(11)
ko‘rinishda bo‘lib, unda α≠0 va α≠1 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy haqiqiy sonni ifodalaydi. α =0 yoki α=1 holda (11)yuqorida ko‘rib o‘tilgan (10) chiziqli differensial tenglamaga aylanadi. Bernulli tenglamasini integrallash uchun uni dastlab y^α ifodaga bo‘lamiz. Natijada (11) tenglama

ko‘rinishga keladi. Endi z= y^1–α belgilash kiritamiz. Bu holda, murakkab funksiya hosilasi formulasiga asosan, z′=(1–α) y^–αy′ bo‘lgani uchun oxirgi tenglama
(11^*)
ko‘rinishga, ya’ni chiziqli differensial tenglamaga keladi. Bu tenglamani yuqorida ko‘rsatilgan Bernulli usulida integrallab, z=φ(x,C) umumiy yechimni topamiz. Unda, yuqoridagi belgilashga asosan, (11) Bernulli tenglamasining umumiy integrali y^1–α= φ(x,C) tenglik bilan aniqlanadi.
Misol sifatida, ushbu

Bernulli tenglamasining umumiy integralini yuqorida ko‘rsatilgan usulda topamiz.
.
Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani integrallab,

natijani olamiz.

2. 
   I tartibli differensial tenglamalarning ayrim iqtisodiy tatbiqlari. Bu yerda I tartibli differensial tenglamalar yordamida yechiladigan iqtisodiy mazmunli amaliy masalalardan bir nechtasi bilan tanishamiz.
   

• 
  Aholi soni haqidagi demografik masala. Ma’lum bir vaqt birligida mamlakatda dunyoga kelgan chaqaloqlar va vafot etgan odamlar soni shu mamlakat aholisining soniga proporsional ( mos ravishda qandaydir k₁ va k₂ proporsionallik koeffitsientlari bilan) ekanligi statistik ma’lumotlar asosida aniqlangan. Shu mamlakat aholisining sonini t vaqt bo‘yicha o‘zgarishini ifodalovchi y=y(t) funksiyani topish talab etiladi.
  

Yechish: Bu mamlakat aholisining ∆t vaqt oralig‘idagi o‘zgarishi ∆y shu vaqt oralig‘da dunyoga kelgan chaqaloqlar va vafot etgan odamlar sonlarining ayirmasiga tengdir. Masala shartiga asosan, ∆t vaqt oralig‘ida dunyoga kelgan chaqaloqlar soni k₁y∆t , vafot etgan odamlar soni esa k₂y∆t bo‘ladi. Bu yerdan quyidagi natijalarni olamiz:

.
Shunday qilib, aholi soni I tartibli y′=ky differensial tenglama bilan ifodalanuvchi qonuniyat asosida o‘zgaradi. Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo‘lib, uni integrallab izlanayotgan y=y(t) funksiyani topamiz:

.
Bunda C₀ o‘zgarmas son qiymati boshlang‘ich shartdan topiladi. Agar t₀ vaqtda aholi soni y₀ ekanligi ma’lum bo‘lsa, unda kabi aniqlanishini ko‘rsatish mumkin.

•