Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning ayrim tatbiqlari

To‘liq diffеrеnsialli tеnglama. Dastlab ushbu ta’rifni kiritamiz:ЖДО

9-TA’RIF: Agar
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9)
tеnglamadа M(x,y) vа N(x,y) funksiyalar tekislikdagi biror D sohada uzluksiz, diffеrеnsiallanuvchi bo‘lib, ularning xususiy hosilalari uchun

shart bajarilib, bu hosilalar ham D sohada uzluksiz bo‘lsa, unda (9) to‘liq diffеrеnsialli tеnglama dеyiladi.
To‘liq differensialli (9) tenglamaning chap tomonini
(9*)
formula bilan topiladigan funksiyaning to‘liq differensiali ko‘rinishda yozish mumkinligini isbotsiz qabul etamiz. Bu holda (9) tenglamaning umumiy integrali u(x,y)=C tenglik bilan oshkormas ko‘rinishda ifodalanadi.
Misol sifatida

differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Bu yerda M(x,y)=x+y–1, N(x,y)=e^y+x bo‘lib, bu funksiyalar tekislikdagi barcha nuqtalarda uzluksiz va differensiallanuvchidir. Bundan tashqari
.
Demak, qaralayotgan differensial tenglama to‘liq differensialli bo‘ladi va shu sababli uning umumiy integralini (9^*) formuladan x₀=0, y₀=0 deb topamiz:

.
Oxirgi tenglikda C+1 o‘rniga C yozildi, chunki C ixtiyoriy son bo‘lgani uchun C+1 ham ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘ladi.

• 
  I tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama. Bu tenglamada noma’lum funksiya y va uning hosilasi y′ birinchi darajada, ya’ni chiziqli ravishda qatnashib, quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
  

уў+P(x)y=Q(x) . (10)
Bundа P(x) vа Q(x) uzluksiz funksiyalar yoki o‘zgarmas sonlardir. Agar Q(x)≡0 bo‘lsa, (10) bir jinsli , aks holda bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglama deyiladi.
(10) chiziqli tеnglamani Bernulli usulida yechamiz. Buning uchun umumiy yеchimni y=u(x)v(x)=uv ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda u(x) va v(x) noma’lum funksiyalar bo‘lib, ularni topish uchun (10) tenglamada y o‘rniga uv ko‘paytmani qo‘yib, ushbu tenglamaga ega bo‘lamiz:

. (*)
Oxirgi, ya’ni (*) tenglamadan, kvadtrat qavs ichidagi ifodani nolga tenglashtirib, v=v(x) noma’lum funksiya uchun

tеnglamaga ega bo‘lamiz. Bunda (**) berilgan bir jinsli bo‘lmagan (10) chiziqli tenglamaga mos keluvchi bir jinsli tenglama ekanligini ta’kidlab o‘tamiz. Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo‘lib, uni yuqorida ko‘rilgan usulda yechamiz:


Bu yerda C₁=1 deb, izlanayotgan noma’lum funksiyalardan biri
(10^*)
ekanligini ko‘ramiz. Bu natijani (*) tenglamaga qo‘yib va (**) tenglikdan foydalanib, ikkinchi u=u(x) noma’lum funksiyani topamiz:
. (10^**)
Bu yerdan berilgan (10) chiziqli differensial tenglamaning umumiy integrali
(10^***)
formula bilan topilishini ko‘ramiz.
Misol sifatida ushbu Koshi masalasini yechamiz:

Dastlab Koshi masalasidagi I tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini Bernulli usulida topamiz, ya’ni у=uЧv ko‘rinishda izlaymiz.
.
Kvadrat qavs ichidagi ifodani nolga tenglashtirib, v=v(x) funksiyani topamiz:
.
Demak, deb olish mumkin. Unda
.
Bu yerdan berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi

ko‘rinishda ekanligi kelib chiqadi. Undagi C o‘zgarmas sonini topish uchun Koshi masalasining boshlang‘ich shartiga murojaat etamiz:
.
Demak, berilgan Koshi masalasining izlangan yagona yechimi

funksiyadan iborat bo‘ladi.

•