Birinchi va ikkinchi sirt integrallarini hisoblashga doir mashqlar stoks formulasining tadbiqlari: Reja

4-ta’rif.Agar da f(x,y,z) funksiyaning integral yig ‘indisi chekli limitga ega bo ‘lsa f(x,y,z ) funksiya (S) sirtning bo ‘yich integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi )funksiya deb ataladi. Bu yig ‘indining chekli limiti I esa ,f(x,y,z) funksiyaning birinchi tur sirt integrali deyiladi va u

Kabi belgilanadi.Demak ,

Endi birinchi tur sirt integralining mavjud bo ‘lishini ta’minlaydigan shartni toppish bilan shug ‘ulanamiz.
Faraz qilaylik fazodagi (S) sirt
z=z(x,y)


tenglama bilan berilgan bo ‘lsin .Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq (D) sohada uzluksiz va hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham (D)da uzluksiz.
1-teorema.Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u holda bu fuksiyaning (S) sirt bo ‘yicha birinchi tur sirt integrali

mavjud va

bo ‘ladi.
Isbot.(S) sirtning bo ‘linishini olaylik . uning bo ‘laklarini
bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil qiladi.
bo ‘laklashiga nisbatan (1) yig ‘indini tuzamiz.

Ma’lumki, .Bu nuqtaga akslanuvchi nuqta nuqta
bo ‘ladi.Demak , formulaga binoan

bo ‘ladi.


O ‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

Natijada yig ‘indi quydagi


Ko ‘rinishga keladi.
Endi da (bu holda ham nolga intiladi) yig ‘indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o ‘zgartitib yozamiz:

(4)
Bu tenglikning o ‘ng tomonidagi ikkinchi qo ‘shiluchini baholaymiz :


Bunda

Ravshanki

Funksiya (D) da uzluksiz , desak ,demak, tekis uzluksiz. U holda Kantor


teoremasining natijasiga ko ‘ra olinganda ham shunday topiladiki,
(D) sohaning diametri bo ‘lgan har qanday bo ‘lishi uchun

bo ‘ladi.Unda


va demak

(4)tenglikning o ‘ng tomonidagi birinchi qo ‘shiluvchi

Esa

Funksiyaning integral yig ‘indisidir.Bu funksiya (D) sofada uzluksiz.Demak , da integral yig ‘indi chekli limitga ega va

Bo ‘ladi. Bu munosabatni etiborga olib (4) tenglikda da limitga o ‘tib topamiz.

Demak

Teorema isbot bo ‘ldi.

Ikkinchi tur sirt integrallari

f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan bo ‘lsin .Bu sirtning ma’lum tomoni olaylik . Sirtning P bo ‘linishini va bu bo ‘lishini har bir bo ‘lagida (k=1,2,3…..)
ixtiyoriy nuqta (k=1,2,3…..) olaylik.Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymatini ning Oxy tekislikdagi proeksiyasi ning yuziga ko ‘paytirib quydagi yig ‘indi tuzamiz
(5)
sirtning shunday
(6)
Bo ‘linishlarni qaraymiz ,ularning mos diametrlaridan tashkil topgan

Ketma –ketlik nolga intilsin . Bundan bo ‘linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig ‘indilarni tuzamiz.Natijada sirtning (6) bo ‘linishlarga mos integral yig ‘indilar qiymatlaridan iborat quydagi
ketma-ketlik hosil bo ‘ladi.