Byurgers tenglamasi(yopishqoq oqim)

VVTP usuli
Rouch VVTP usuli bilan (roache, 1972) byurgersning chiziqli tenglamasiga
tenglamaga A=c oldinga siljishdagi farqlar va bo`shliqdagi markaziy farqlarga nisbattan qo`llaniladigan usulni chiqaradi. Olingan natijada farq sxemasi imsert turi
Bu O( yaqinlashuvining birinchi darajali aniq bir bosqichli sxema tenglamasini yozaylik.
+
{14}
Burgers tenglamasi uchun r = , va v=c . r=1/2, v=1 o'zgartirilgan tenglamaning o'ng tomonidagi dastlabki ikki koeffitsientlar nolga teng ekanligini aniqlang. afsuski, bu qisman differentsial tenglamaning yopishqoq atamasini yo'qotadi. tergovchi-lekin, r=1/2 va v=1 uchun VVTP usuli Burgers tenglamasining qabul qilinishi mumkin bo'lmagan chegara farqiga yaqinlashishiga olib keladi, chunki bu holda farq sxemasi shaklni oladi va ilgari tavsiflangan barqarorlikni evristik tahlilidan kelib chiqadiki, farq sxemasining barqarorligi uchun koeffitsient noldan katta bo'lishi kerak.

Oxirgi tenglik quyidagicha qayta yozish mumkin.
{15}
Byurgers tenglamasining raqamli yrchimi bilan tabiiy ravishda paydo bo`ladigan juda foydali parametrilar chegara bilan ifodalangan aniq sondir.
R =c {16}
Konvektsiyaning diffuziyaga nisbatini tavsiflovchi ushbu o'lchovsiz parametr Burgers tenglamasining hal qiluvchi omilini aniqlashda muhim rol o'ynaydi. Reynolds panjara raqami (shuningdek, Pekle raqami deb ataladi) v va r orqali quyidagicha ifodalanishi mumkin
R =(c {16}
Shuning uchun barqarorlik sharti {15} quyidagicha yoziladi.
R {17}
Biz ilgari ta'kidladikki, og'zaki so'zlarni evristik tahlil qilish har doim ham farq sxemasining barcha shartlarini aniqlashga imkon bermaydi. hozir ko'rib chiqilayotgan vaziyatda bu sodir bo'ldi. barqarorlikning barcha shartlarini olish uchun biz Furye tahlilidan foydalanamiz (Neyman usuli). VVSP sxemasi uchun o'tish koeffitsienti
G=1+2r(cos 4.180
Shaklga qurilgan G uchun tenglama haqiqiy o`qning (1-2r) nuqtasida joylashgan ellipsni tavsiflaydi

Shakl VVSP sxemaning barqarorligi shartlari

(a) v<1, r<1/2 <2r .
(b) v<1, r<1/2, <2r
Ellipsning katta va kichik yarim o'qlari mos ravishda 2R va v ga teng. bundan tashqari, ellips ushbu aylananing ijobiy bashoratli o'qi bilan kesishish nuqtasida birlik doirasiga tegadi. barqarorlik uchun zarur shart| g / 1 tenglama-bu ellipsning birlik doirasi ichida to'liq bo'lishi talabidir. oxirgi shart ellipsning katta va kichik yarim o'qlarining uzunliklariga quyidagi cheklovlarni qo'yadi:
v (1.181)
shu bilan birga, ushbu shartlar bajarilganda, mo - tokning farq sxemasi beqaror bo'lishi mumkin, buni rasmdan ko'rish mumkin. 4.38(b). albatta, barqarorlikning yarim shartini o'tish koeffitsienti moduli uchun odatiy ifodani o'rganish orqali topish mumkin. bunday tahlilni o'tkazgandan so'ng, biz olamiz
(4.182)

Birinchi shart ilgari barqarorlikni evristik tahlil qilish asosida olingan. ushbu ikkita tengsizlikni birlashtirib, boshqasini aniqlash mumkin: v 1, allaqachon grafik tahlil asosida olingan. barqaror shartlar Reynolds tarmog'ining qiymatiga quyidagi cheklovlarni qo'yadi

R 4.183

Shuni takidlash kerakki, bazi asarlarda tengsizlikning o`ng tomoni noto`g`ri R deb yoziladi.

Burgers tenglamasini echish uchun ishlatiladigan cheklangan farq sxemalarining muhim xarakteristikasi bu echimning tebranishlari (portlashlari) paydo bo'lishi. shubhasiz, suyuqlikning oqishini hisoblashda biz bunday tebranishlarning paydo bo'lishidan qochmoqchimiz, agar Burgers tenglamasini Butunittifoq VVSP usuli bilan yechishda, agar Reynoldsning panjara raqami
2 R
oralig'ida joylashgan bo'lsa, tebranishlar paydo bo'ladi. agar Reynoldsning panjara raqami 2/v dan biroz kattaroq bo'lsa, unda bu tebranishlar oxir-oqibat eritmaning "portlashiga" olib keladi, yuqoridagi tahlildan kutganingizdek, barqaror. osilatsiyalarning sababini topish uchun (4.175) tenglamani qayta yozing
4.184
Yoki
(1-2r)
Endi biz Byurgers tenglamasining yechimini dastlabki shart va u(x,0)=0, 0 bilan 11 tugunli panjara bilan topmoqchimiz deylik. Vaqtning birinchi bosqichida barcha qiymatlar va (n+1) vaqt qatlami nolga teng, tugundagi qiymatlardan tashqari j=10, bu yeda
(1-2r) =
=
va chegarada (j=11) bu yerda va berilgan qiymatlarga teng. Agar R ikkitadan ko`p bo`lsa, unda qiymat salbiy bo`ladi. Bu esa rasmda ko`rsatilganidek eritmaning tebranishini keltirib chiqaradi. (a) ushbu rasmda v=0.4 , r=0.1, R holat uchun qurilgan.
vaqtning keying bosqichida tebranish o`ng chegaradan yana bir nuqta o`tadi.
yechimning turi (b) rasmda ko`rsatilgan. Asta sekin tebranishlar boshqa chegaraga tarqaladi, lekin hajm cheklangan bo`lib qoladi.

Rasmda Byurgers tenglamasining raqamli yechimi bilan tebranishlarning paydo bo`lishi.
Vaqt. butun qaror davomida, iterativ ravishda yuz tarkibi olinmaguncha. ko'rib chiqilgan tebranishlar ikkinchi (yoki undan yuqori) aniqlik tartibining sxemalari bo'yicha harakatlanuvchi bo'shliqni hisoblashda Byurgers yopishqoq bo'lmagan tenglamasi doirasida paydo bo'lganlarga o'xshaydi.
(1-2r)
tenglama koeffitsientlarini jismoniy nuqtai nazardan o'rganish orqali tebranishlarning sabablarini yaxshiroq tushunish mumkin. agar ikkitadan ko'p bo'lsa, u holda koeffitsient salbiy bo'ladi. shuning uchun, ko'proq narsa kamroq, yopishqoq muammolar uchun bunday yechim fizik ma'noga ega emas, chunki o'sish bilan va uning orqasida tobora ko'proq "cho'zilishi" kerak (ya'ni o'sishi kerak). bunday jismoniy bo'lmagan qarorning natijasi qarorning tebranishlarining paydo bo'lishi hisoblanadi. VVSP usulidan foydalanganda tebranishlardan xalos bo'lish mumkin, agar konvektiv atamani yaqinlashtirish paytida Markaziy farqlar shu bilan almashtirilsa, Fazodagi ikkinchi aniqlik moslamasini oqimga qarshi farq bilan ta'minlasa, birinchi aniqlik tartibiga ega. keyin c>0 bilan biz bir martalik sxemani olamiz
4.186
Birinchi darajali aniqlik sxemasi echimga qo'shimcha tarqalishni kiritish orqali yaxshi tebranishlarni bostiradi. qo'shilgan tarqalish farq sxemasini shunchalik noto'g'ri qiladiki, farq sxemasi (4.186) Burgers tenglamasini echish sxemasi sifatida ko'rib chiqilmaydi. qayta ishlashga kiritilgan katta tarqalish ushbu sxema uchun o'zgartirilgan tenglamani tahlil qilishdan ko'rinib turibdi
… 4.187
va uni VVSP sxemasi uchun o'zgartirilgan tenglama bilan taqqoslash. tenglamada (4.187) koeffitsient uchun ifodada, o'z ichiga olgan atama bilan qo'shimcha R 2 paydo bo'ladi. shuning uchun, agar R >2 dan katta bo'lsa, unda bu to'liqgacha bo'lgan muddat asl Burgers tenglamasidagi yopishqoq atamaga qaraganda ko'proq tarqalishga (diffuziya) olib keladi. dispersiya xatolarini kamaytirish uchun Leonard juda ko'p sun'iy yopishqoqlikni kiritmasdan, konvektiv atamani oqimga qarshi farqlar bilan uchinchi aniqlik tartibi bilan yaqinlashtirishni taklif qildi, bu holda c>0 bo'lsa, farq sxemasi olinadi

Agar c<0 bo`lsa

4.188