Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi

Misol №1: Ushbu sistemani yeching:

Yechish: Bu sistemada m=n=3 va uning asosiy determinanti
.
Bu sistema matritsasining rangi r(A)=2 bo‘lib, bazis minor sifatida, masalan, ushbu II tartibli minorni olish mumkin:
.
Bu minorga sistemaning dastlabki ikkita tenglamalarini koeffitsiyentlari kirgan va shu sababli ularni qoldirib, 3-tenglamani o‘chirib tashlaymiz hamda x₃ erkli o‘zgaruvchini tenglamani o‘ng tomoniga o‘tkazamiz:
.
Oxirgi sistemada x₃=C deb va Kramer usulidan foydalanib, berilgan sistemaning umumiy yechimini topamiz:
.
Topilgan umumiy yechimda C=0 deb

bazis yechimga ega bo‘lamiz.
Misol №2: Ushbu sistemani tekshiring va uning umumiy hamda bazis yechimni toping:

Yechish: Bu sistemada m=3 va n=4, ya’ni m. Bu sistemaning matritsasi va uning kengaytirilganini qaraymiz:
.
Bu matritsalarning rangi r(А)= r(А^b)= r=2 ekanligini tekshirib ko‘rish mumkin. Demak bu sistema birgalikda va uning rangi noma’lumlar sonidan kichik, ya’ni r=24 bo‘lgani uchun bu sistema cheksiz ko‘p yechimga egadir. Bu sistemaning x₁ va x₂ noma’lumlari oldidagi koeffitsiyеntlardan tuzilgan determinant noldan farqli va shu sababli uni bazis minor, x₁ va x₂ noma’lumlarni esa asosiy o‘zgaruvchilar dеb olish mumkin. Bundan tashqari sistema matritsasining rangi r=2 bo‘lgani uchun uning bir tenglamasini, masalan uchinchisini, o‘chirib tashlash mumkin. Asosiy o‘zgaruvchilarni hosil qilingan tenglamalar sistemasining chap tomonida qoldirib, qolgan х₃ va х₄ erkli o‘zgaruvchilarni tenglamalarning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz:

Bu sistemada erkli o‘zgaruvchilarga ixtiyoriy х₃=C₁ vа х₄=C₂ qiymatlar beramiz va uning umumiy yechimini Kramer usulida topamiz:
.
Bu yerda C₁=0, C₂=0 deb ushbu bazis yechimni hosil etamiz:
.