Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi

4.2. Matritsalar usuli. Bu usulda sistemaning matritsaviy ko‘rinishda yozilgan (4) ifodasidan foydalaniladi. Bunda r(А)=n shartdan sistemaning n – tartibli A kvadrat matritsasi maxsusmas ekanligi kelib chiqadi, chunki matritsa rangi ta’rifiga asosan ∆=|A|≠0 bo‘ladi. Bu holda A matritsaga teskari matritsa A^–1 mavjud va (4) matritsaviy tenglamaning ikkala tomonini unga chap tomondan ko‘paytirish mumkin. Natijada, teskari matritsa ta’rifi va birlik matritsa xossasidan foydalanib, ushbu formulani hosil etamiz:
(7)
(4) matritsaviy ko‘rinishdagi n noma’lumli chiziqli n ta tenglamalar sistemasi yechimini ifodalovchi (7) formula bir noma’lumli ax=b (a≠0) chiziqli tenglamaning yechimini determinant x=b/a=a^–1b formulaga o‘xshash ekanligini ta’kidlab o‘tamiz.
Misol: Ushbu tenglamalar sistemasini matritsa usulida yeching:



Yechish: Dastlab sistemaning A matritsasini yozib, uning determinantini hisoblaymiz:

Demak A matritsa maxsusmas, unga teskari matritsa mavjud va uni §3 dagi (3) formulaga asosan topamiz:

Endi (7) formula bo‘yicha noma’lumlardan tuzilgan X ustun matritsani aniqlaymiz:

Demak, sistemaning yagona yechimi х₁ = 1, х₂ = –2 , х₃ =3 bo‘ladi.
Shunday qilib matritsalar usuli har qanday n noma’lumli n ta tenglamali aniq sistema yechimini oddiy va ixcham ko‘rinishdagi (7) formula bilan ifodalash imkonini beradi. Bu formula nazariy tadqiqotlar uchun qulaydir, ammo n oshib borishi bilan uning amaliy tatbig‘i murakkablashib boradi. Bunga sabab shuki, bu holda A^–1 teskari matritsani topish uchun yuqori tartibli determinantlarni hisoblashga to‘g‘ri keladi.
4.3. Kramer (determinantlar) usuli. Matritsaviy ko‘rinishda (7) formula bilan ifodalanuvchi (1) sistema (m=n) yechimini teskari matritsa formulasidan foydalanib quyidagicha yozamiz:

.
Bu yerdan sistemaning x_k (k=1, 2, …, n) yechimi uchun ushbu formulalar kelib chiqadi:
(8)
Bunda determinantning 11-xossasidan foydalanib, k=1, 2, …, n, uchun ushbu

tengliklar o‘rinli bo‘lishidan foydalandik. (8) formulalarda (1) sistemaning a_ij koeffitsiyentlaridan tuzilgan

determinant sistemaning asosiy determinanti, uning k-ustunini ozod hadlar ustuni B bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan ∆_k ( k=1, 2, …, n) determinantlar esa yordamchi determinantlar deyiladi.
5-TA’RIF: (1) chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini asosiy va yordamchi determinantlar orqali ifodalovchi (8) tengliklar Kramer formulalari deb ataladi.
Kramer usulining afzalligi shundan iboratki, u orqali sistemaning ma’lum
bir noma’lumlarini ham (masalan, faqat x₁ va x₂ noma’lumlarni) topish mumkin. Ammo bu usul ham n katta bo‘lganda yuqori tartibli determinantlarni hisoblashni taqozo etadi va shu sababli uni amalda qo‘llash katta qiyinchiliklar bilan bog‘liq.
Kramer formulalarini n=2 hol uchun yozamiz. Bunda (1) chiziqli tenglamalar sistemasi
,
asosiy va yordamchi determinantlar

va Kramer formulalari

ko‘rinishda bo‘ladi.
Shunga o‘xshash n=3 bo‘lganda sistema
,
asosiy va yordamchi determinantlar

va Kramer formulalari

ko‘rinishda bo‘ladi.