Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi

Misol: Ushbu uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini Kramеr usulida yeching:

Yechish: Asosiy va yordamchi determinantlarni hosil etamiz va hisoblaymiz:
, =–5,
, .
Kramеr formulalariga asosan sistema yechimini topamiz:

Shuni yana bir marta ta’kidlab o‘tamizki, (1) sistema n=m holda yagona yechimga ega, ya’ni birgalikda va aniq bo‘lishi uchun uning asosiy determinanti ∆≠0 bo‘lishi kerak va bunda yechim matritsalar usulida (7), Kramer usulida esa (8) formulalar bilan topiladi.
Ko‘rsatish mumkinki, agar n=m holda (1) sistemaning asosiy determinanti ∆=0 bo‘lsa, unda quyidagi ikki hol bo‘ladi:
1) Barcha yordamchi determinantlar ∆_k=0 (k=1, 2, …, n) bo‘lsa, unda (1) sistema chеksiz ko‘p yechimga ega, ya'ni birgalikda va aniqmas bo‘ladi.
2) Agar yordamchi ∆_k (k=1, 2, …, n) determinantlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lsa , unda (1) sistema yechimga ega emas, ya’ni birgalikda bo‘lmaydi.
Masalan,

sistemalarning birinchisi uchun ∆=∆₁=∆₂=0 va u x₁=c, x₂=(3c−4)/5 ko‘rinishdagi cheksiz ko‘p yechimga ega. Ikkinchi sistema uchun esa ∆=0, ammo ∆₁=20≠0 bo‘lgani uchun u yechimga ega emas. Haqiqatan ham sistemaning II tenglamasidan 3x₁−5x₂=6 ekanligi kelib chiqadi va u sistemaning I tenglamasiga ziddir.
4.4. Gauss (noma’lumlarni yo‘qotish) usuli. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yoki Kramer usulida yechishda bevosita berilgan (1) sistemaning o‘zi bilan ish ko‘riladi. Endi qaralayotgan Gauss usulida esa berilgan (1) sistema boshqa bir sistemaga keltiriladi shu sababli bizga quyidagi tushuncha kerak bo‘ladi.
6-TA’RIF: Agar ikkita chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimlar to‘plami o‘zaro teng bo‘lsa, ular ekvivalent (teng kuchli) sistemalar deyiladi.
Masalan,

sistemalar ekvivalent , chunki ular bir xil x₁= –2, x₂= 5 yechimga ega.
1-TEOREMA: Agar (1) sistemaning ikkita tenglamalari o‘rni o‘zaro almashtirilsa yoki ulardan biri ixtiyoriy λ songa ko‘paytirilib boshqa bir tenglamasiga qo‘shilsa, natijada berilgan sistemaga ekvivalent sistema hosil bo‘ladi.
Masalan,

sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalarini o‘rnini almashtirish va hosil bo‘lgan sistemaning birinchi tenglamasini λ= –2 songa ko‘paytirib, uchinchi tenglamasiga qo‘shish natijasida hosil bo‘lgan quyidagi sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo‘ladi:

Haqiqatan ham bu sistemalarni Kramer yoki matritsalar usulida yechib, ularning ikkalasini ham bir xil

yechimga ega ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin.
Endi birgalikda va aniq bo‘lgan quyidagi n noma’lumli n ta chiziqli tenlamalar sistemasini Gauss usulida yechishga o‘tamiz:
(9)

1. 
   qadam. (9) sistemada a₁₁≠0 deb olish mumkin, chunki bu shart bajarilmagan bo‘lsa , (9) sistemadagi tenglamalar o‘rnini almashtirish orqali unga erishish mumkin. Sistemaning 1-tenglamasini ikkala tomonini –a_k1/ a₁₁ songa ko‘paytirib, uning k-tenglamasiga (k=2, 3, …, n) qo‘shamiz. Natijada hosil bo‘ladigan ekvivalent sistemaning k-tenglamasida noma’lum x₁ qatnashmaydi va u quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
   

(9⁽¹⁾)