Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi

Misol №3: Ushbu sistemani tekshiring:

Yechish: Bu sistemada m=3 va n=4, ya’ni m. Bu sistemaning matritsasi va uning kengaytirilganini qaraymiz:
.
Bunda A matritsalarning rangi r(А)=2, kengaytirilgan matritsa rangi esa r(А^b)=3 bo‘ladi. Haqiqatan ham uning ushbu III tartibli minori
.
Bundan r(A)≠r(А^b) ekanligini ko‘ramiz va shu sababli, Kroniker-Kapelli teoremasiga asosan, bu sistema birgalikda emas, ya’ni uning yechimi mavjud emas.
4.6. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. Endi (1) n noma’lumli m ta tenglamalar sistemasining maxsus bir holini alohida ko‘rib o‘tamiz.
7-TA’RIF: Agar (1) chiziqli tenglamalar sistemaning o‘ng tomonidagi barcha ozod hadlar nolga tеng bo‘lsa, u holda bu sistema bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi.
Demak, n noma’lumli m ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(11)
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi hamma vaqt birgalikdadir, chunki u hech bo‘lmaganda bitta х₁=0, х₂=0, …, х_n=0 yechimga ega.
8-TA’RIF: (11) bir jinsli sistemaning yechimi faqat nollardan iborat bo‘lsa, u trivial yechim , aks holda, ya’ni sistemaning yechimi ichida kamida bitta noldan farqli son mavjud bo‘lsa, u notrivial yechim dеb ataladi.
Kroniker-Kapelli teoremasidan quyidagi tasdiq bevosita kelib chiqadi.
2-TEOREMA: Agar (11) bir jinsli sistema determinantining rangi r(A)=n bo‘lsa, bu sistema faqat trivial yechimga ega bo‘ladi. Bu sistema notrivial yechimga ega bo‘lishi uchun r(A)=r<min(m,n) shart bajarilishi zarur va yetarlidir.
Masalan,

bir jinsli sistemalardan birinchisi faqat trivial yechimga ega (chunki r(A)=2=n), ikkinchisi uchun esa notrivial yechimlar ham mavjud (chunki r(A)=2<n=3).
2-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi:
NATIJA: Bir jinsli (11) sistema m=n holda notrivial yechimga ega bo‘lishi uchun uning asosiy determinanti ∆=0 bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Agar (11) bir jinsli sistemaning notrivial yechimi mavjud bo‘lsa, u yuqorida ko‘rsatilgan asosiy va erkli o‘zgaruvchilarni tanlab olish orqali topiladi.