D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

12.4-§. O’qlari umumiy nuqtaga ega bo’lgan aylanish sirtlarining
o’zaro kesishuvi. Yordamchi sferalar usuli

Ma’lumki, markazi biror aylanish sirtining o’qida bo’lgan sfera bu sirtni chekli sondagi aylanalar bo’yicha kesadi. Bu aylanalar proeksiyalar tekisliklarining biriga to’g’ri chiziq kesmasi shaklida, ikkinchisiga aylana yoki ellips ko’rinishida proeksiyalanadi. Aylanish sirtlari bilan sferaning o’zaro kesishish chizig’i haqidagi bu muhim xulosa ikkita aylanish sirtining o’zaro kesishish chiziqlarini yasashga imkon beradi.
Yordamchi kesuvchi sferalar to’plami kontsentrik yoki ekstsentrik ko’rinishlarda bo’ladi. Kesishuvchi sirtlarning xarakteriga qarab, yordamchi kesuvchi sferalarning biror usuli ishlatiladi.

12.4.1. Kontsentrik sferalar usuli

Ikki aylanish sirtining o’qlari umumiy nuqtaga ega bo’lsa,bu o’qlar bitta tekislikni tashkil qiladi. Bu tekislik har ikkala sirt uchun simmetriya tekisligi bo’ladi.
Yordamchi kesuvchi kontsentrik sferalar usulini quyidagi shartlar qanoatlantirgan hollardagina qo’llash mumkin:

• 
  o’zaro kesishuvchi sirtlar aylanish sirtlari bo’lishi shart;
  
• 
  aylanish sirtlarining o’qlari o’zaro kesishgan bo’lishi kerak;
  
• 
  aylanish sirtlarining o’qlari (yoki simmetriya tekisligi) proeksiyalar tekisliklarining biriga parallel bo’lishi yoki sirt o’qlarining biri proeksiyalar tekisliklarining biriga parallel, ikkinchi o’q esa ikkinchi proeksiyalar tekisligiga perpendikulyar bo’lishi kerak.
  

Yordamchi kesuvchi kontsentrik sferalarning markazi sirtlarning o’qlari kesishgan nuqtasida bo’ladi. 12.7–rasmda o’qlari umumiy O(O′, O″) nuqtada kesishuvchi va simmetriya tekisligi V ga parallel bo’lgan Φ(Φ′, Φ″) aylanma konus va Γ(Γ′, Γ″) silindr sirtlari berilgan. Bu sirtlarning kesishish chizig’ini yasash uchun O″ nuqtani markaz qilib, R radiusli Ω(Ω″) sfera chiziladi. Ω sfera Φ sirt bilan umumiy o’qqa ega bo’lgani uchun ular ℓ₁ (ℓ₁′, ℓ₁″) va ℓ₂ (ℓ₂′, ℓ₂″) aylanalar bo’yicha kesishadi. Shaklda bu aylanalarning V tekislikdagi proeksiyalari A₁″ A₂″ va B₁″ B₂″ kesmalar tarzida tasvirlangan. Shuningdek, bu sfera Φ sirt bilan umumiy o’qqa ega bo’lgani uchun C₁′ C₂″ va D₁″ D₂″ kesmalar ko’rinishidagi aylanalar bo’yicha kesishadi. Bu aylanalarning o’zaro kesishish 7″, 8″, 9″ va 10″ nuqtalari har ikkala Φ va Γ sirtlar uchun umumiy bo’lgan nuqtalarning frontal proeksiyalari bo’ladi.

12.7-rasm.
Xuddi shuningdek, O″ nuqtani markaz qilib, kontsentrik sferalar chiziladi, ular yordamida Φ va Γ sirtlar uchun umumiy bo’lgan nuqtalarini yasash mumkin. Bu nuqtalarning geometrik o’rni bo’lgan m″ va n″ egri chiziqlar Φ va Γ sirtlarning kesishish chiziq bo’ladi. Φ va Γ sirtlarning frontal ocherklarining 1″, 2″, 3″, 4″ kesishish nuqtalari bu sirtlar kesishish chizig’ining xarakterli nuqtalaridan hisoblanadi. O″ nuqtadan eng uzoqda joylashgan 4″ xarakterli nuqtadan o’tuvchi sferaning radiusi R_max bo’ladi. Kesishish chizig’ining xarakterli nuqtalaridan yana bir juftini Φ va Γ sirtlarining birortasiga R_min radiusli urinma sfera o’tkazish bilan aniqlanadi. Eng kichik sferaning R_min radiusi quyidagicha aniqlanadi (12.7-rasm): O″ nuqtadan berilgan sirtlarning birini chekka yasovchisiga O″E″ va O″F″ perpendikulyarlar o’tkaziladi. Bunda O″E″>O″F″ bo’lsa R_min=O″E″ bo’ladi. Agar O″E″ < O″F″ bo’lsa, R_min=O″F″ bo’ladi, O″E″=O″F″=R_min bo’lgan holda eng kichik sfera ikkala sirtga urinib, kesishish chizig’i ikkita tekis egri chiziqqa ajraladi. Shunday qilib, urinma sferani shunday o’tkazish kerakki, u sirtlarning biriga urinsin va ikkinchisini kesib o’tsin. 12.7–rasmda Φ sirtga urinma bo’lgan R_min radiusli sfera o’tkazish bilan yasalgan egri chiziqning 5, 6 xarakterli nuqtalari aniqlangan. Bu nuqtalarda egrilik buriladi yoki yo’nalishini o’zgartiradi. Kesishish chizig’ining boshqa nuqtalari R_max va R_min radiusli sferalar orasida ixtiyoriy sferalar o’tkazish bilan aniqlanadi. Konus va silindrlarning o’zaro kesishish chizig’i m(m″) va n larga tegishli nuqtalarning gorizontal proeksiyalari konus o’qiga perpendikulyar bo’lgan parallel kesuvchi gorizontal tekisliklar orqali aniqlanadi. SHunday qilib, kontsentrik sferalar usuli bilan ikki aylanish sirtining kesishish chiziqlarini yasash quyidagi sxema bo’yicha bajariladi:

• 
  ikki aylanish sirti o’qlarining kesishish nuqtasi kontsentrik sferalar markazi sifatida qabul qilinadi;
  
• 
  sirtlarning frontal (yoki gorizontal) ocherklarining kesishish nuqtalari xarakterli nuqtalar sifatida belgilanadi va R_max radiusli sfera aniqlanadi;
  
• 
  eng kichik R_min radiusli sfera chiziladi. Natijada yana bir juft xarakterli nuqtalar aniqlanadi;
  
• 
  R_max va R_min lar orasida sferalar o’tkazilib, oraliq nuqtalar topiladi.
  

12.8-rasm
12.8-rasmda o’qlar O(O′, O″) nuqtada kesishuvchi va simmetriya tekisligi H proeksiyalar tekisligiga parallel bo’lgan ikki doiraviy konusning kesishish chizig’i kontsentrik sferalar usuli bilan yasalgan. Bunda avvalo kesishish chizig’ining xarakterli 1(1′, 1″) va 2(2′, 2″) nuqtalari aniqlanadi. So’ngra O′ nuqtani markaz qilib olib, ikkala konusni kesadigan qilib Φ₁′ sfera o’tkaziladi. Φ₁′ sfera Γ′ konus bilan a′ aylana bo’yicha, Γ′ konus bilan b′ aylana bo’yicha kesishadi. Bu aylanalarning kesishish nuqtalari 5′=6′ ikki konusning kesishish chizig’ia tegishli bo’ladi. A aylananing a″ proeksiyasi yasalib, uning ustida 5″ va 6″ nuqtalar yasaladi. Kesishish chizig’ining qolgan nuqtalari ham yuqoridagidek yasaladi va ular o’zaro tutashtiriladi.