Determinantlar, matritsa va chiziqli tenglamalar

a_ij elementning algebraik to`ldiruvchisi A<sub>ij</sub> bilan belgilanadi, bu yerda i va j berilgan element turadigan satr va ustun raqami. Yuqoridagi ta`rifdan ko`rinadiki, elementning algebraik to`ldiruvchisi bilan uning minori orasidagi bog`lanish quyidagi tenglik bilan ifodalanadi:
Masalan:

Yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda ularning tartibini pasaytirish qoidasidan foydalanish mumkin. Bu qoida determinantni biror satr yoki ustun elementlarining algebraik to`ldiruvchilari bo`yicha yoyish mumkinligiga asoslangan.
Masalan, (2) determinantni birinchi satr elementlarining algebraik to`ldiruvchilari bo`yicha quyidagicha yoyish mumkin:



Determinantning quyidagi xossalarini keltiramiz:

1. 
   Agar determinant satrlari elementlari o`rnini ularga mos ustun elementlari bilan almashtirsa, uning qiymati o`zgarmaydi.
   
2. 
   Agar satr yoki ustun elementlarining o`rni almashtirilganda, determinantning ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi.
   
3. 
   Ikkita bir xil satrli (yoki ustunli ) determinant qiymati nolga teng.
   
4. 
   Satrdagi (yoki ustundagi ) umumiy ko`paytuvchini determinant belgisidan tashqariga chiqarib yozish mumkin.
   
5. 
   Agar biror satr (yoki ustun) ning barcha elementlari nolga teng bo`lsa, u holda determinantning qiymati nolga teng.
   
6. 
   Agar determinantning biror satri (yoki ustuni) elementlariga boshqa satr (yoki ustun) ning bir xil songa ko`paytirilgan mos elementlari qo`shilsa, determinant o`z qiymatini o`zgartirmaydi.
   

1-misol. Quyidagi determinantni ikkinchi satr elementlari bo`yicha tarqatib hisoblang:
Yechish:

2- misol. Quyidagi determinantni

birinchi satrining birinchi elementidan boshqa elementlaini nolga aylantirish bilan hisoblang:
Yechish: I-ustun elementlarini -2 ga ko`paytirib II-ustun elementlariga, I-ustun elementlarini -3 ga ko`paytirib III-ustun elementlariga qo`shamiz.
determinantni birinchi satr elementlari bilan tarqatsak,

Yuqorida ko`rgan ikki usuldan tashqari yana 3-usul, ya`ni biror satr yoki ustun elementlaridan bittasidan tashqarisini nolga aylantirib uchburchak shakliga keltirib hisoblash mimkin. Bu usul determinantni bosh diagonaldan bir tomonda hamma elementlarini nolga aylantirishdan iborat. Bu holda determinantning qiymati bosh diagonal elementlari ko`paytmasiga teng bo`lishini ko`rish oson.