Diskret boshqarish tizimlarining matematik modellari

Modelning operator shakli (6.3.3) operatsiyani hisobga olgan holda olinishi mumkin
kesish torus z:
Bilanⁱ y(k) = y(k+i). (6.3.6)
Bu holda (6.3.3) tenglama osongina shaklga o'tkaziladi
a(z) y(k) = b(z) u(k), (6.3.7)
a(z) = zⁿ + a₁Bilan^n-1 + ... + a_n-1z + a_n, (6.3.8)
b(z) = b₁Bilan^n-1 + ... + b_n-1z + b_n. (6.3.9) a(z) operatori sistemaning xarakteristik polinomi (6.3.3) va kompleks sonlar deyiladi.
la z_i, i = (1, n) - a(z)=0 xarakterli tenglamaning ildizlari sistemaning qutblari deyiladi. b(z) = 0 algebraik tenglamaning ildizlari sistemaning nollari deyiladi.
(6.3.7) ifodadan y(k) va u(k) o‘zgaruvchilar o‘rtasidagi munosabatning operator tenglamasi va diskret tizimning uzatish funksiyasi operatori kelib chiqadi:
y(k) = W(z)u(k), (6.3.10)
W(z) = b(z)/a(z). (6.3.11)
Tashqi muhitning boshqaruv ob'ektiga ta'sir qilishning bezovta qiluvchi effekti f (k) qo'shimcha kirish signali sifatida qaraladi, diskret tizimning chiziqli modeli esa quyidagi shaklni oladi:
a₀ y(k+n) + a₁ y(k+n-1) +…+ a_n y(k) =
= b₁ u(k+n-1) +…+ b_n u(k) + d₁ f(k+n-1) +…+ d_n f(k). (6.3.12)
qaerda d_i - f(k) buzilish tizimidagi jarayonlarga ta'sirni aniqlaydigan koeffitsientlar. Tegishli o'zgarishlardan so'ng biz modelning operator shaklini olamiz (6.3.12):
a(z) y(k) = b(z) u(k) + d(z) f(k). (6.3.13)
d(z) = d₁Bilan^n-1 + ... + d_n-1z + d_n. (6.3.14)
y(k) = W(z)u(k) + Vt_f(z) f(k), (6.3.15)
IN_f(z) = d(z)/a(z). (6.3.16)
IN_f(z) - f(k) bezovta qiluvchi harakatga nisbatan tizimning uzatish funksiyasi.
Farq tenglamalarini yechish. Modelni ko'rsatish shakli (6.3.3) takroriy yechimni olishning oddiy usulini, ya'ni oldingi diskretda y va u funktsiyalarining ma'lum qiymatlaridan y (k) ning joriy qiymatlarini topish tartibini taqdim etadi. vaqt momentlari k. Farq tenglamasiga k+n=k (yoki n= 0) ni qo‘yib, yozamiz:
y(k) = -a₁y(k-l) -...- a_ny(k) + b₁u(k-l) + b₂ u(k-2) + ... + b_nin (0). (6.3.17) Umumiy holatda (6.3.3) tenglamaning analitik yechimi:
y(k) = y_St(k) + y_V(k). (6.3.18)
Ifodada majburiy komponent y mavjud_V(k) tizimning kirish harakati u(k)ga javobiga mos keladigan va erkin komponent y_St(k) bir jinsli ayirma tenglamasining yechimlariga mos keladigan (avtonom diskret tizim):
a₀ y(k+n) + a₁ y(k+n-1) +…+ a_n y(k) = 0 (6.3.19) y(0), y(-1), boshlang'ich sharoitlarda. . . , y(-n+1).
Tizimning xatti-harakati va vaqtinchalik jarayonning erkin komponenti tizimning z qutblariga bog'liq_i, ular odatda murakkab konjugat juftliklar bilan ifodalanadi:

2

Bilan_i,i+1=a_i ∓jbi, Bilan_i,i+1= M_i Exp(∓js_i), M_i =| Bilan_i,i+1|, s_i = arg z_i,i+1. (6.3.20)

vaSt
(k) = C₁ Bilan₁^k + C₂
Bilan^k + … + C_n
Bilan_n^k, (6.3.21)

qaerda C_i dastlabki shartlarga qarab noaniq koeffitsientlardir.

i

Buning uchun haqiqiy salbiy bo'lmagan ildiza_i > 0,b_i = 0, as_i = 0, vaqtinchalik jarayonning aperiodik komponentiga mos keladi (rejim) y (k) = C_i M^k, lekin haqiqiy salbiy ildizga, buning uchuna_i < 0,b_i = 0, as_i =Pi, - tebranish rejimi y(k) = C_i M_i^k cos kPi.
Xarakterli ko'phadning z murakkab konjugat ildizlarining juftlari_i,i+1=
a_i ∓jbi, tebranish komponentlariga mos keladi
va_i,i+1= A_i M_i^k cos(k)s_i-s_i),
qaerda A_i,s_i - boshlang'ich sharoitlarga qarab parametrlar. Agar ba'zi boshlang'ich qiymatlar uchun identifikator mavjud bo'lsa
va_Rezyume(k) = y* = const, k≥0 bo'lsa, y = y* qiymati tizimning muvozanat holati deb ataladi.
Vaqtinchalik jarayonning majburiy komponenti u(k) kiritish harakati bilan aniqlanadi. Diskret tizimlar uchun eng keng tarqalgan kirish signallari birlik impuls poezdi va Kronecker delta funktsiyasidir.

belgilangan rejim. Tizim modelining doimiy kirish harakati u(k) = const va vaqtinchalik jarayonning barqaror komponenti y = y da harakatini ko'rib chiqamiz._ichida = const. Har qanday i uchun barqaror holat (statik) rejimida≥0 y bajariladi_va(k+i) = u_ichida va u(k+i) = u(k), (6.3.3) ifodadan diskret sistemaning statik xarakteristikasini topamiz:
va_va = (b₁+…+b_n )u(k) /(1+a₁+…+ a_n) = Kimga, (6.3.22)
Bu erda K - statik koeffitsient. Statik xarakteristikaning mavjudligi sharti 1+a₁+…+ a_n ≠0. Bu shartni qanoatlantiradigan sistema statik deyiladi.
(6.3.22) va (6.3.10) ni solishtirib, topamiz
(b₁+…+b_n) /(1+a₁+…+ a_n) = W(1) = b(1)/a(1).
Shuning uchun, W (1) = K va statik rejimda tizim tenglama bilan tavsiflanadi:
ichida_ichida = W(1)u.
Diskret tizimlarning elementar zvenolari. Elementar bo'g'inlar sifatida biz diskret tizimning eng oddiy bloklarini ajratamiz, ular 1-2 tartibli farq tenglamalari bilan tavsiflanadi va shartni qondiradi.
|z_i| = |l_i{A}|≤1. (6.3.23)