Diskret boshqarish tizimlarining matematik modellari

Birinchi tartibdagi farq(birinchi farq) - panjara funktsiyasining keyingi diskret qiymati va uning joriy qiymati o'rtasidagi farq:
Dx(k) = x(k+1) – x(k).
Birinchi tartibdagi farq panjara funksiyasining o'zgarish tezligini tavsiflaydi va shuning uchun uzluksiz funktsiyaning birinchi hosilasining analogidir.
Ikkinchi tartibdagi farqbirinchisining ikkita qo'shni farqining farqi sifatida aniqlanadi

qator: ^x(k) = x(k+1) - x(k) = [x(k+2)-x(k+1)] – [x(k+1)-x(k)] = x(k+2) - 2x(k+1) + x(k).


Har qanday mth tartibidagi farqlar Xuddi shu tarzda hisoblab chiqiladi:


Avtonom tizimlarni diskretlashtirish. Tizimni diskretlashtirish deganda uzluksiz dinamik modelni farqli tenglamalarda tasvirlashning diskret shakliga aylantirish tushuniladi. t = kT momentlarida olingan diskret modelning x(kT) impuls signallari dastlabki uzluksiz tizimning x(t) signallarining qiymatlarini ma'lum darajada aniqlik bilan takrorlaydi deb taxmin qilinadi.
Farq tenglamalaridan foydalangan holda chiziqli impuls tizimlarining matematik tavsifi quyidagi shaklga keltiriladi:
a_mD^mx(k) + a_m-1D^m-1x(k) +…+ a₀ x(k) = 0. (6.2.1)
bu yerda (6.2.1) tenglama a doimiy koeffitsientli chiziqli ayirma tenglamasi_m (m=0, 1, 2,...), uzluksiz dinamik tizimlarni tavsiflashda bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning analogidir. (6.2.1) yechim har bir kvantlash davri uchun x(k) diskret o'zgaruvchining qiymatini beradi.
(6.2.1) tenglama quyidagicha yozilishi mumkin:
m
∑ c_n x(k+n) = 0. (6.2.2)
n= 0
Shunday qilib, diskret sistemada (6.2.1) kvantlangan vaqtlardagi jarayonlar t-kT asl uzluksiz tizimdagi jarayonlarga to'liq mos keladi. Diskret tizimning oraliq vaqtlardagi yechimlari aniqlanmaganligi sababli, diskret shaklga to'g'ri o'tish Kotelnikov-Shannon teoremasiga muvofiq T kvantlash oralig'ini tanlashni o'z ichiga oladi.
Diskret z-transformatsiyasi. Impulsli sistemalar nazariyasida ayirma tenglamalarini yechish uchun diskret Laplas transformatsiyasi va uning modifikatsiyasi diskret z-transformasidan foydalaniladi.



Uzluksiz x(t) funksiyasi uchun Laplas konvertatsiyasi:
X(r) =_∫0x(t) exp(-pt) dt. (6.2.3) Diskret x(kT) funksiyaga o'tishda integrasiyani yig'indiga almashtirganda:
∞

X(p) =T
Yangi z=exp(pt) o‘zgaruvchini kiritamiz:
∑
k= 0
x(kT) exp(-pkT). (6.2.4)

∞

X(z) =T
∑
k= 0
x(kT) z^-k . (6.2.5)

Bu tenglama diskret Laplas konvertatsiyasi bo'lib, unda ifodalangan
∞

X(z) =
∑
k= 0
x(kT) z^-k . (6.2.6)

z-transformatsiyasi deb ataladi. Bu farq tenglamalarni yechish usulining asosini yotadi. Diskret Laplas transformatsiyasi X(z) z-transformatsiyasidan normallashtiruvchi omil T mavjudligi bilan farq qiladi. Diskret tizimlarni tahlil qilishda z-transformatsiya farqli tenglamalardan algebraik tenglamalarga o‘tish imkonini beradi va tahlilni sezilarli darajada soddalashtiradi. diskret tizimlar dinamikasi.
(6.2.6) ifodada x(kT) funksiya panjara funksiyasining asli, X(z) esa uning tasviri deyiladi. Tasvirdan asl nusxaga teskari o'tish uchun (uning tasviridan asl panjara funktsiyasini topish uchun) teskari z-transformatsiyasi qo'llaniladi:
x(kT) = (1/2 .)Pij)∮X(z) z^k-1 div.
Ildizlar p_i uzluksiz sistemaning xarakterli ko‘phadlari z ildizlari bilan bog‘langan_i munosabat bo'yicha ekvivalent diskret tizimning xarakterli ko'phad
Bilan_i = exp (Tp_i). (6.2.7)
Umuman olganda, xaritalash (6.2.7) noaniq va p ning bir nechta turli qiymatlari uchun_i bir xil z qiymatiga mos kelishi mumkin_i. Uzluksiz va ekvivalent diskret tizimlar ildizlarining birma-bir mos kelishi faqat quyidagi talablarni qondiradigan tanlama oralig'i uchun amalga oshiriladi.
Kotelnikov-Shannon teoremasiga imkon beradi.