Ekologik jarayonlarni modellashtirish

Geometrik o’xshashlik - modellashtiriayotgan jarayonning (natura) geometrik

elementlari bilan modelning geometrik elementlari, ya'ni chiziqli o’lchamlari nisbati bir
xil bo’lishi kerak:

UDK 505.064.36 2
Taqrizchilar: R. Sadullayev, t.f.d., professor 2
O. Arifjanov. 2
© Toshkent irrigatsiya va melioratsiya instituti, 2011 2
KIRISH 2
1-§ Ekologik jarayonlarni modellashtirish fani Maqsad va vazifalari 3
1.1.Ekologik tizim 3
1.2.Fizik va matematik modellashtirish 6
Nazorat savollari 8
2-§ o’lchov birliklar nazariyasi. O’lchov birliklar. 8
2.1.Asosiy o’lchov birliklar 8
9[ ]=[L][T]^-1: 9
(F]= (M](L](T]^-2 9
(A]=(M](L]²(T]^-2 10
[q]=[m]" •[^]^г'к]■; 10
2.2.Bir o’lchov birliklaridan boshqa o’lchov birliklariga o’tish. 10
Bog’liq va bog’liq bo’lmagan o’lchov birliklar 10
[U ] = МP • L P • Т]"; 12
[U2 ]=[М]“² ■[/ ]'² ■[/’]'²; 12
Ц3>]=[М"³ -[LГ -ItГ³; 12
lg^[ U^] = "1 lg^[M] ■ Л ^lgL ^] ■^Г1 lg^1т] 12
lg[^U] = "2 lg[^M] ■ ^U2 lgL^] ■г2 IgjT⁷]; 12
U = F;U =т;U = L; 12
PU ]=[МIL MrP; 12
[^2 ]=Т]; И=( l ] 12
Nazorat savollari 13
3-§ MODELLASHTIRISHNING NAZARIY ASOSLARI. 14
O’xshashlik mezonlari 14
3.1.O’xshashlik qonunlari 14
т 16
^p н K к 17
I.Nyutonning o’xshashlik qonuni 17
^ = ^L va °м = l- T ^T 18
ан = va ам = ~г 18
TT 18
Frudning o’xshashlik mezoni 19
Reynoldsning o’xshashlik mezoni 21
du 21
FUm = Цм-l²-К l¹ 21
L.Eylerning o’xshashlik mezoni 22
M.Veberning o’xshashlik mezoni 22
Struxalning o’xshashlik mezoni 24
-+- = K 24
Maxning o’xshashlik mezoni 24
Arximedning o’xshashlik mezoni 26
Koshining o’xshashlik mezoni 26
J.Lagranjning o’xshashlik mezoni 26
Misollar 28
Yechish: 28
Yechish: 29
3 29
= я . Кс = 30
Мм 30
Nazorat savollari 30
4-§ O’XSHASHLIK NAZARIYASINING ASOSIY TEOREMALARI 30
P - teorema 31
D =[L ]1;p = [M]1 L] g- =[/]•[/■] 33
[М]^1-e • [z]^3e-a-Y • [y]^2Y-1 = 1 35
1- в = 0 3в-Л-Y = 0 2у -1 = 0 36
в = 1Y = 2Л = 3; Q i - _г ; 36
2³ pD'² ■ g^{2 к} d ⁷ 36
к ^D 7 36
O’lchovlar nazariyasi asosida yana bir misol ko’ramiz: 36
Nazorat savollari 38
5-§ HAR XIL MUHITLARDA JISMLARNING HARAKATI 38
3.1.Har xil muhitlarda jismlarga ta'sir etuvchi kuchlar 38
1 — Zi = 0 ^ z1 = +1 39
1 — Xi — У1 + 3Z1 = 0 ^= У1 + 2 39
— 2 + x1 = 0 ^= x1 + 2 39
F = p& •LF(P2;PJ) (5.4) 42
F = 6nnR; (5.6) 42
5.2. Qattiq zarrachalarning muhitlarda harakat tezligi 43
R = 3>n^a_zd , (5.7) 43
2gd( PT — P) 44
w= 44
1 + в^ — 44
IgRed 45
Masalalar 45
q M 46
Nazorat savollari 46
6-§. EKOTIZIMDAGI JARAYONLARNI MATEMATIK MODELLASHTIRISH ASOSLARI 46
6.1 Harakat tenglamalari. Energiyaning saqlanish qonuni 46
6.2. Oqim harakatini modellashtirish. Nave-Stoks tenglamasi. 51
du 'A 52
дУ J 52
du A 52
du A 52
J 52
pyz = pzy = a 52
x = X +P^ + + ^z , 53
£. = Z ₊^x' + _{+ +} . 53
Nazorat savollari 53
7-§. Massaning saqlanish qonuni. Uzluksizlik tenglamasi 54
7.1. Massaning saqlanish qonuni 54
du dv da 56

bu yerda: K₁ - modellashtirishning chiziqli masshtabi;
L; Q;W_H; 1;ф;W_m - mos ravishda "nature" va "model"ning uzunligi, yuzasi, xajmi.

2. 
   Kinematik o’xshashlik - modellashtirishlayotgan mexanik jarayon-ning kinematik
   

xarakteristikalari modelning kinematik xarakteristikalari bilan mos kelishi kerak, ya'ni
geometrik o’xshashlik saqlangan xolda yana vaqt parametrlari kiritiladi:
?К
К 2
т
bu yerda: K₂ - vaqtning modellashtirish masshtabi;
Т,т - mos ravishda "natura" va "model" dagi vaqt

3. 
   Dinamik o’xshashlik- modellashtirilayotgan mexanik jarayonga va modelga ta'sir
   

etayotgan kuchlar nisbati bir xil bo’lishi kerak, ya'ni geometrik, kinematik o’xshashlik saqlangan holda yana "massa" ni ifodalovchi kattalik, masalan zichliklar nisbati ko’rsatilishi
kerak:
^p н K к
K 3
Р m
bu yerda : K₃ - zichlikning modellashtirish masshtabi;
РН p_m - mos ravishda "nature" va "model" elementlarining zichli-gi.
I.Nyutonning o’xshashlik qonuni
Dinamik o’xshashliklarga amal qilish uchun bir necha o’xshashlik mezonlari kiritilgan. O’xshashlik mezonlari ta'sir etayotgan kuchlar xususiyati, modellashtirilayotgan jarayonlardan kutilayotgan natijalarga karab tanlab olinadi. Bu ishni amalga oshirishda Nyutonning o’xshashlik qonuniyatan foydalanamiz.
Agar "natura" massasini -Mva xajmini - W_h, model massasini - m va xajmini deb belgilasak, u holda
M = Ph^wh m = PMWM
bu yerdan:
M = ^p W = к3. К13 (3.1)
^m PMWM
Agar " natura" dagi mexanik jarayon tezligini V_H va "model" dagini V_m deb belgilasak u xolda
^ = ^L va °м = l-
T ^T
Bu yerdan quyidagiga ega bo’lamiz:
l
&H. = T = Lit = K_ (3.2)
>■ '_ _-T K2
T
Mexanik jarayon tezlanishini - a_H va "model" ning tezlanishini a_M deb belgilasak u xolda
Ll
ан = va ам = ~г
TT
U xolda

L-t ²
I -T²
(3.3)

1. 
   (3.2), (3.3) tenglamalar massa, tezlik va tezlanishning modellashtirish masshtablarini aniqlash uchun foydalaniladi.
   

Kuchning modellashtirish masshtabini quyidagicha aniqlaymiz:














F_H=Ma_H; F_M=mam;
н нм m

(3.4)

Bu yerda: F_H,F_M - mos ravishda "natura" va "model" dagi kuchlar ifodasi;

massa va

tezlanishining ifodalarini (3.4) ga quyib,

= = p_HWL_-= p_HWL^2
H T² T²l

^PMWM.l _ ^pMWM.l

T²

T²l

Ph W^h
L
^PMWM§M
I

U xolda, kuchlar nisbatidan qoidagi ifodani olamiz:

Fh = PhWhVH ■ = PhL-² VV Fm L- PmWm -&²m PmI²3²

Oxirgi ifoda Nyuton soni -Ne deyiladi:


Ne = FlL;; (3.5)
M ■&²
Modellashtirish masshtab koeffitsiyentlari:


Dinamik o’xshashlikning asosiy qonuni (3.5) ifoda bilan belgilanadi. Bu ifodadan shunday xulosa qilish mumkin: dinamik o’xshash jarayonlarda kuchlar nisbati bir xil bo’lishi kerak:
Ne=idem.
Fizik jarayon va hodisalarni modellashtirishda gidrodinamik o’xshashlik sharti, bu "natura" va "modelda"gi barcha kuchlar nisbatlarining tengligidir. I.Nyutonning asosiy mezonidan tabiatning har xil fizik kuchlar uchun xususiy o’xshashlik kriteriyalarini olish mumkin. Quyida amaliyotda tez-tez uchrab turadigan masalalarda, asosiy ta'sir etuvchi kuchlar uchun o’xshashlik mezonlarini keltiramiz.
Frudning o’xshashlik mezoni
Agar modellashtirilayotgan jarayonga ta'sir etayotgan kuchlardan faqat og’irlik kuchining ta'siri inobatga olinsa, u xolda dinamik o’xshashlik shartlari soddalashadi.
U xolda kuchlar nisbati quyidagicha topiladi.
^FH = ^p H ' g1 ' WH ; ^FM = ^рм ' g2 ' ^WM
bu yerda: g₁, g₂,- mos ravishda "natura" va "model" dagi erkin tushish tezlanishlari odatda g₁=g = g deb olinadi.
Kuchlar nisbati: F- = ^PH 'g¹ 'WH .= ^PH'g1L
^FM P ' g2 'WM Pm ' g2^ll
F
Dinamik o xshashlik sharti bajarilishi uchun: FH = cons t bo lishi kerak, u Fm
xolda (3.5) dan foydalanib:
PH • g1' L3 = PH L ^p VH
P ' g2 'l³ Pm ¹² '^m
bu yerdan:
^PH-g1'^L = ^PH■ ' ^VH
^P ' g2 '^{1 P}M ’ ^VM


yoki


gL V² V² Э²
g¹- = ^—;^— = -M- = Const g2l -m g^— g2^l
(3.6)
Oxirgi ifodaga (3.6) Frud mezoni yoki soni deyiladi:
- - 2
Fr = —
gl
Bu ifodaga yana gravitasion o’xshashlik qonuni xam deyiladi.
Demak, modellashtirilayotgan mexanik jarayonlarda faqat og’irlik ku-chi ta'sirini inobatga olsak, u xolda "natura" va "model" dagi Frud soni bir xil bo’lishi kerak.

1)

2)
"Model" dan "natura" ga o’tishda quyidagi mashtablarga ega bo’lamiz: tezliklar uchun:
Эн² L
н— = — = K-еки-&= =, Э² l ^{1 н
-}M ¹
oqim miqdori uchun (havo yoki suv uchun)
Q Q — . _г
— = = K\ Л
q ™-Эм
yoki bu yerda: Q; q- mos ravishda "natura" va "model" dagi oqim sarfi;

3. 
   vaqt uchun:
   

^— = - ■
= ^—н;
L--
т l--H Kk

3. 
   kuchlar uchun:
   

Рн -³
PM P

3
₁ - K ₂₁

yoki

31

3. 
   bosim uchun:
   

FF® _ K3K1 _ к к
F -Q~ K³ " ³¹
Hu. Л1
Reynoldsning o’xshashlik mezoni
Agar mexanik jarayonda ichki ishqalanish kuchining ta'siri (suv va havoda) yuqori
bo’lsa, dinamik o’xshashlik shartlarida o’zgarishlar bo’ladi.
Ma'lumki, I.Nyuton gipotezasi asosida ichki ishqalanish kuchi quyidagicha aniqlanadi:
du
dn
Bu yerda F_u - ichki ishqalanish kuchi;
S - qatlamlar yuzasi;
du
— - tezlik gradienti;
ц - dinamik yopishqoqlik koeffisienti.
U xolda yuqoridagilardan foydalanib, "natura" va "model" dagi kuchlarni quyidagicha ifodalaymiz:
Fu = ц - L² - F - L-
н н. H
FUm = Цм-l²-К l¹
Kuchlar nisbatidan:
F^UH = ^ЦН -^L-^H
^FUm ^ЦМ '^m
Dinamik o’xshashlik shartidan, Nyuton mezonidan foydalanib
Fu = cons t = Ne ^Fum
u xolda

LS h
PH-^L ' ^SH = ^рн ' ^L ' ^SH ёки Ph Pm 'l '^Sm ^pM 'l "^SM ^рн


lSM
Pm '
^pM


yoki
(3.7)


Sh • L = SM-l
Sh Sm


Oxirgi ifodaga (3.7) Reynolds mezoni yoki soni deyiladi:


_ S-L
Re =


bu yerda: S - oqim tezligi; L - oqimning chiziqli o’lchami; v - kinematik yopishqoqlik koeffisenti.
Demak, ishqalanish kuchi ta'sirida bo’lgan ikkita fizik jarayon o’xshash bo’lishi uchunRe_H=Re_M;Re=idem shartlari bajarilishi kerak.


L.Eylerning o’xshashlik mezoni


Eyler o’xshashlik mezoni jarayonga ta'sir etayotgan boshqa kuchlarga nisbatan bosim kuchi ustunlik qilgan holda aniqlanadi va (3.5) tenglamani nazarda tutgan holda


P Р
= = Ей.
Р_аи_а ^рм^иМ. ■


(3.8)


Bu yerda: Yey -L.Eyler mezoni, u model va natura uchun teng bo’lishi lozim:
Ей = Ейм ёки Ей =idem.


Agar Re mezoni sharti bajarilsa, u holda L.Eyler mezoni sharti o’z-o’zidan bajariladi, bunda


Ей = Л —;
2d
M.Veberning o’xshashlik mezoni

Bu mezon sathga tortilish kuchi F =a l ustunlik qilgan holda olinadi. Bu yerda: g - sathga tortilish koeffisienti.

^Pa^Uapa = ^P M-uM^M = ^^
^Ga ^GM-
(3.9)


bu yerda: We - M.Veber soni u "natura" va" modelda" bir-biriga teng bo’lishi kerak:
We_a=We_M yoki We=idem
Struxalning o’xshashlik mezoni
Bu mezonda oqimning beqaror harakatida inersiya kuchining ta'siri ustun bo’lsa, quyidagi shart bajarilishi kerak


^Uata = ^UMtM = St


(3.10)


bunda:St - Struxal mezoni, u " natura" va "modelda" bir xil bo’lishi kerak: St_a=St_M ёки St = idem


bu yerda vaqt uchun quyidagi masshtab olinadi:


t
-+- = K
t
m
Maxning o’xshashlik mezoni


(3.11)


Bu mezonda oqimning siqilishi nazarda tutiladi:


u u_M
^a = M = Ma,


bu yerda; S - tovushning tarqalish tezligi;


Ma - Max mezoni, natura va model uchun bir xil:


Маа = Мам yoki М a = idem,


(3.13)

Arximedning o’xshashlik mezoni

Bu mezonda ikki xil zichlikka ega bo’lgan jismlarning farqi natijasida (P1-P2) paydo bo’ladigan Arximed kuchi tasiri inobatga olinadi:





g_al_a

u²

' P1 - P _ ^ = gM- M Г_ P1 - P
< p 1 J uM I p 1

(3.14)

bu yerda :Ar - Arximed mezoni u natura va modelda bir xil bo’lishi kerak:



Ar_a=Ar_M yoki Ar=idem

(3.15)

Koshining o’xshashlik mezoni
Bu mezon zarbaga qarshi kuch ta'siri ustunlik qilganda (masalan quvurdagi gidravlik zarba) qo’llaniladi
u}Pa = uM .PM = Co
Ea EM '

16. 
    

bu yerda: E - materialning zarbani qaytarish xususiyati;
Co - Koshi mezoni:
Со _а = Со _м; yoki Со = idem.

16. 
    

J.Lagranjning o’xshashlik mezoni
Bu mezon sekin harakatlanuvchi, qovushoqligi katta bo’lgan oqimlarning o’xshashligini o’rganuvchi mezon.
Bu mezon L.Eyler va O.Reynolds kriteriyalarining ko’paytmasiga teng:
La = Ей Re =idem (3.18)
Biz yuqorida fizik jarayonlarni modellashtirishda, amaliyotda tez uch-rab turadigan va qo’llanilayotgan dinamik o’xshashlik mezonlarini keltirdik. Bo’lardan tashqari yana bir nechta mezonlar masalan, L.Prandtl, A.Eynshteyn, Richardson , I.I.Levi , S.T.Altunin, K.ShLatipov mezonlari va boshqalar mavjud.
Bu mezonlardan xususiy holdagi masalalarni yechishda foydalanadilar. Dinamik o’xshashlik qonunlari asosida modellashtirishda masshtab koeffisentlari katta ahamiyatga ega. Quyidagi jadvalda (3.1-jadval) masshtab koeffisentlari ifodalari keltirilgan.