Ekologik jarayonlarni modellashtirish

du_x 1 др
— X
dt p dx


(6.1)
^duy _ i 1 др = Y
dt p ду
du_z 1 др
— Z
dt p dz
Bu tenglamalar tizimiga ideal oqimlar harakatining differensial tenglamasi deyiladi. U birinchi marta Eyler (1775 y) tomonidan taklif qilingan.
Tenglamada:
du_x duy du_z
—-; —-; —- - тезлик градиенти
dt dt dt
др др др
—; —; босим градиенти.
дх ду dz
X;Y;Z -massa kuchlarining koordinata o’qlariga proeksiyasi.
Amaliy masalalarni yechishda tenglamani og’irlik kuchini inobatga ol-gan holda integrallaymiz.
Buning uchun (6.1) tenglamaning ikki tomonini mos ravishdadx,dy,dz -ga
kupaytirib qo’shamiz:





(6.2)

1 i, 11 11 1 (др , др , др '
dz — Xdx +Ydy + Zdz —dx + — dy + — dz ;
p ^ дx ду дz )

dt dt

du du
—^x-dx + y


Ma'lumki,
dx dy dz
u — —;u —;u — — ^x dt ^y dt ^z dt u xolda, hosil bulgan ifodaning (6.2) birinchi xadini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:
du duy du 1 2 2 2
—-dX + day, —-dz = udux + uduy + uduz = — dxu + u + u )
dt dt dt ^{x y z} 2 ^{V x y z}
u ² +u ² +u ² = u ²
xyz
bo’lganligi uchun (6.2) tenglamaning birinchi xadini quyidagicha yozamiz:


(6.3)
d( d(u— + u²_y + u^—) = d(u²)
Agar massa kuchlaridan fakat og’irlik kuchi ta'sirini inobatga olsak, (6.2) tenglamaning ikkinchi xadi quyidagi ko’rinishda keladi:
X=0;Y=0;Z=-g

UDK 505.064.36 2
Taqrizchilar: R. Sadullayev, t.f.d., professor 2
O. Arifjanov. 2
© Toshkent irrigatsiya va melioratsiya instituti, 2011 2
KIRISH 2
1-§ Ekologik jarayonlarni modellashtirish fani Maqsad va vazifalari 3
1.1.Ekologik tizim 3
1.2.Fizik va matematik modellashtirish 6
Nazorat savollari 8
2-§ o’lchov birliklar nazariyasi. O’lchov birliklar. 8
2.1.Asosiy o’lchov birliklar 8
9[ ]=[L][T]^-1: 9
(F]= (M](L](T]^-2 9
(A]=(M](L]²(T]^-2 10
[q]=[m]" •[^]^г'к]■; 10
2.2.Bir o’lchov birliklaridan boshqa o’lchov birliklariga o’tish. 10
Bog’liq va bog’liq bo’lmagan o’lchov birliklar 10
[U ] = МP • L P • Т]"; 12
[U2 ]=[М]“² ■[/ ]'² ■[/’]'²; 12
Ц3>]=[М"³ -[LГ -ItГ³; 12
lg^[ U^] = "1 lg^[M] ■ Л ^lgL ^] ■^Г1 lg^1т] 12
lg[^U] = "2 lg[^M] ■ ^U2 lgL^] ■г2 IgjT⁷]; 12
U = F;U =т;U = L; 12
PU ]=[МIL MrP; 12
[^2 ]=Т]; И=( l ] 12
Nazorat savollari 13
3-§ MODELLASHTIRISHNING NAZARIY ASOSLARI. 14
O’xshashlik mezonlari 14
3.1.O’xshashlik qonunlari 14
т 16
^p н K к 17
I.Nyutonning o’xshashlik qonuni 17
^ = ^L va °м = l- T ^T 18
ан = va ам = ~г 18
TT 18
Frudning o’xshashlik mezoni 19
Reynoldsning o’xshashlik mezoni 21
du 21
FUm = Цм-l²-К l¹ 21
L.Eylerning o’xshashlik mezoni 22
M.Veberning o’xshashlik mezoni 22
Struxalning o’xshashlik mezoni 24
-+- = K 24
Maxning o’xshashlik mezoni 24
Arximedning o’xshashlik mezoni 26
Koshining o’xshashlik mezoni 26
J.Lagranjning o’xshashlik mezoni 26
Misollar 28
Yechish: 28
Yechish: 29
3 29
= я . Кс = 30
Мм 30
Nazorat savollari 30
4-§ O’XSHASHLIK NAZARIYASINING ASOSIY TEOREMALARI 30
P - teorema 31
D =[L ]1;p = [M]1 L] g- =[/]•[/■] 33
[М]^1-e • [z]^3e-a-Y • [y]^2Y-1 = 1 35
1- в = 0 3в-Л-Y = 0 2у -1 = 0 36
в = 1Y = 2Л = 3; Q i - _г ; 36
2³ pD'² ■ g^{2 к} d ⁷ 36
к ^D 7 36
O’lchovlar nazariyasi asosida yana bir misol ko’ramiz: 36
Nazorat savollari 38
5-§ HAR XIL MUHITLARDA JISMLARNING HARAKATI 38
3.1.Har xil muhitlarda jismlarga ta'sir etuvchi kuchlar 38
1 — Zi = 0 ^ z1 = +1 39
1 — Xi — У1 + 3Z1 = 0 ^= У1 + 2 39
— 2 + x1 = 0 ^= x1 + 2 39
F = p& •LF(P2;PJ) (5.4) 42
F = 6nnR; (5.6) 42
5.2. Qattiq zarrachalarning muhitlarda harakat tezligi 43
R = 3>n^a_zd , (5.7) 43
2gd( PT — P) 44
w= 44
1 + в^ — 44
IgRed 45
Masalalar 45
q M 46
Nazorat savollari 46
6-§. EKOTIZIMDAGI JARAYONLARNI MATEMATIK MODELLASHTIRISH ASOSLARI 46
6.1 Harakat tenglamalari. Energiyaning saqlanish qonuni 46
6.2. Oqim harakatini modellashtirish. Nave-Stoks tenglamasi. 51
du 'A 52
дУ J 52
du A 52
du A 52
J 52
pyz = pzy = a 52
x = X +P^ + + ^z , 53
£. = Z ₊^x' + _{+ +} . 53
Nazorat savollari 53
7-§. Massaning saqlanish qonuni. Uzluksizlik tenglamasi 54
7.1. Massaning saqlanish qonuni 54
du dv da 56

dx dy dz

2. 
   (6.4), (6.5) ifodalarni (6.2)-ga quyib, quyidagiga ega bo’lamiz:
   

— d(u²) + — dp + gdz = 0
² P
hosil bo’lgan ifodani integrallab, quyidagini olamiz:
P u²
z + —+ — = ConS t , (6.6)
Y g
ya'ni energiyaning saqlanish qonuni.
Bu yerda: Z - oqim solishtirma holat energiyasi (potensial) energiyasi deyiladi.
P u²
solishtirma bosim ( potensial ) energiyasi, oqim solishtirma kinetik
Yg
energiyasi.
Bu tenglama yordamida chegaralangan muhitlarda (daryo, kanal, quvurlar
tizimi va
h.k) harakatlanayotgan oqim parametrlari aniqlanadi.
6.2. Oqim harakatini modellashtirish. Nave-Stoks tenglamasi.
Real suyuqliklarda gidrodinamik bosim mavjud bo’lib, harakat yo’q bo’lgan holda u gidrostatik bosimga aylanadi. Gidrodinamik bosimning xossalari gidrostatik bosim xossalariga qaraganda umumiyroqdir.
Suyuqlik ichida joylashgan biror elementar hajmni kuzatsak, unga tashqaridagi suyuqlik massasi ma'lum bir kuch bilan ta'sir qiladi. Anna shu kuch zo’riqish kuchi deyiladi. Bu kuchni to’laroq ko’z oldimizga keltirish uchun tomonlari dx, dy, dz ga teng to’lgan tetraedr ko’rinishidagi elementar hajm ajratib olamiz (7-rasm). U holda tetraedrning qiya sirtiga tashqaridagi suyuqlik kuch bilan ta'sir qiladi. Olingan elementar hajm harakat vaqtida o’z holatini saqlashi uchun unga teng ta'sir etuvchisi kuchiga teng va qarama-qarshi yo’nalgan quyidagi uchta kuch ta'sir qiladi: tetraedrning yOz tekislikda yotgan yuzasi bo’yicha kuchi, xOz tekisligida yotgan yuzasi bo’yicha kuchi; xOy tekisligida yotgan yuzasi bo’yicha kuchi. Bu kuchlarning har birix,y va z o’klari bo’yicha proeksiyaga ega:
P{ {Px_X , Py , Px ^}
P ^{P , P , P }
P^{ {PP , Py , Pz. ^}
Shunday qilib, P kuchni to’qqizta kuch bilan almashtirish mumkin bo’ladi. Bunday xususiyatga ega bo’lgan kattaliklar tenzor deb ataladi va quyidagicha yoziladi:






(6.7)

^Pyx

^Pxx^{, P}xy<sup>,

P</sup>yy<sup>,

P</sup>xx


P_zx, P_zy, P_z
Bu kuchlardan uchtasi tetraedr yon sirtlariga normal bo’yicha yo’nalgan bo’lib, ular zo’riqish tenzorining normal tashkil etuvchilari deyiladi. Tenzorning qolgan oltita tashkil etuvchisi sirtlarga urinma bo’yicha yo’nalgan bo’lib, zo’riqish tenzorining urinma tashkil etuvchilari deyiladi. Urinma tashkil etuvchilar quyidagi xossalarga ega bo’ladi:
pxy = pyx ; pxz = pzx ; pyz = pzy .
Shuning uchun, r tenzori simmetrik tenzor deb ataladi. Bu xossaning isboti
maxsus kurslarda keltirilgan bo’lib, biz u to’grisida to’xtalib o’tirmaymiz. Shuningdek, tenzorning komponentlarini tushuntirishlarsiz, tezlik va qovushoqlik koeffisienti orqali ifodasini keltiramiz:
Px =^-P + ²V -Tx ,
dx
du
^py=^-p+’" y,
д du