Ekonometrika

1.2. Namunaviy misollar echish

1-misol.

Mamlakatda ettita viloyat bo’yicha ikkita ko’rsatkich qiymatlari berilgan(1.1-jadval).

1.1-jadval

Viloyatlar raqamlari	Umumiy xarajatlarda oziq –ovqat maxsulotlariini sotib olish uchun xarajatlar,%, y	Bir ishchining o’rtacha kunlik ish haqi, ming so’m, x
1	68,8	45,1
2	61,2	59,0
3	59,9	57,2
4	56,7	61,8
5	55,0	58,8
6	54,3	47,2
7	49,3	55,2

Topshiriq:

1. 
   y bilan x orasidagi bog’lanishni tavsiflash uchun quyidagi funktsiyalar parametrlarini hisoblang:
   

a) chiziqli;

b) darajali;

v) ko’rsatkichli;

g) teng tomonli giperbola.

2. Har bir modelni approsimatsiyaning o’rtacha xatoligi - va Fisher F-kriteriyasi yordamida baholang.

Echish

1.a. chiziqli regressiyaning a va b parametrlarini hisoblash uchun quyidagi normal tenglamalar sistemasini a va b larga nisbatan echamiz:

Hisoblashlarni amalga oshirish uchun quyidagi ishchi jadvalini tuzamiz(1.2-jadval):

1.2-jadval

	y	x	yx	x^2	y^2			Ai,%
1	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
Jami	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
O’rtacha qiymat	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	x	x	8,1
σ	5,74	5,86	x	x	x	x	x	x
σ^2	32,92	34,34	x	x	x	x	x	x

Jadval ma’lumotlaridan foydalanib a va b parametrlarning qiymatlarini hisoblaymiz:

,

.
Parametrlarning qiymatlarini o’rniga qo’ysak ushbu regressiya tenglamasini olamiz:

Tuzilgan regressiya tenglamasi o’rtacha kunlik ish haqini 1000 so’mga ortishi oziq-ovqat mahsulotlarini sotib olish uchun harajatlar ulushni o’rtacha 0,35 foizga kamayishiga olib kelishini ko’rsatadi.

Chiziqli juft korrelyatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:

Bog’lanish o’rta miyona, teskari.

Determinatsiya koeffitsientini aniqlaymiz.

Determinatsiya koeffitsientining bu qiymati natija - y ning variatsiyasi 12,7 foiz x omil belgining variatsiyasiga bog’liqligini ko’rsatadi.

Regressiya tenglamasiga x ning haqiqiy qiymatlarini qo’yib ning nazariy (hisoblangan) qiymatlarini topamiz.

Endi – approksimatsiyaning o’rtacha standart hatoligini hisoblaymiz.

Bu, natijaviy belgining hisoblangan qiymatlari nazariy qiymatlaridan 8,1 foizga chetlanishini ko’rsatadi.

Fisherning F-kriteriyasini hisoblaymiz:

ekanligini e’tiborga oladigan bo’lsak, olingan natijalar hosil bo’lgan bog’lanishni tasodifiy xususiyatga egaligi haqidagi H₀ gipotezani qabul qilish kerakligini va tenglama parametrlari hamda bog’lanish zichligini statistik ma’noga ega emasligini ko’rsatadi.
1 b. –darajali modelni tuzishdan avval, o’zgaruvchilarni chiziqli ko’rinishga keltiramiz. Misolimizda chiziqli holatga keltirish tenglamani ikkala qismini logarifmlash orqali amalga oshiriladi.

,

Y=C+b·X.

bu erda

Hisoblashlarni amalga oshirish uchun ishchi jadval tuzib(1.3-jadval).

b va C larni hisoblaymiz:

1.3-jadval

	Y	X	YX	Y^2	X^2				Ai
1	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
2	1,7868	1,7709	3,1642	3,1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
3	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
4	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
5	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3,1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
6	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
7	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16,4
Jami	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
O’rtacha qiymat	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	x	x	28,27	8,0
σ	0,0425	0,0484	x	x	x	x	x	x	x
σ^2	0,0018	0,0023	x	x	x	x	x	x	x

Hisoblanganlarni o’rniga qo’yib chiziqli tenglamani olamiz. Tenglamani potentsirlab quyidagi darajali modelni olamiz:

.

Hosil bo’lgan tenglamaga x ning haqiqiy qiymatlarini qo’yib, natijaning nazariy qiymatlarini olamiz.

Ular bo’yicha bog’lanish zichligi-ρ_xu korrelyatsiya indeksini va - approksimatsiyaning o’rtacha xatoligini hisoblaymiz.

Darajali modelning tavsifi bog’lanishni chiziqli funktsiyaga nisbatan ancha yaxshi ekanligini ko’rsatadi.

1v. - ko’rsatkichli egri chiziq modelini tuzishdan oldin funktsiyani ikki tomonini logarifmlab o’zgaruvchilarni chiziqli ko’rinishga keltiramiz.

bu erda

Hisoblashni amalga oshirish uchun ishchi jadval tuzamiz(1.4-jadval).

1.4-jadval

	Y	x	Yx	Y^2	x^2				Ai
1	1,8376	45,1	82,8758	3,3768	2034,01	61,7	8,1	65,61	11,8
2	1,7868	59,0	105,4212	3,1927	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
3	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
4	1,7536	61,8	108,3725	3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
5	1,7404	58,8	102,3355	3,0290	3457,44	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	-5,7	32,49	10,5
7	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
Jami	12,3234	384,3	675,9974	21,7078	21338,41	403,4	-1,8	200,78	56,3
O’rtacha qiymat	1,7605	54,90	96,5711	3,1011	3048,34	x	x	28,68	8,0
σ	0,0425	5,86	x	x	x	x	x	x	x
σ^2	0,0018	34,34	x	x	x	x	x	x	x

A va C regressiya parametrlarining qiymatlari quyidagilarga teng bo’ladi:



Bularni tenglamaga qo’ysak chiziqli tenglama hosil bo’ladi.

Hosil bo’lgan tenglamani potintsirlab uni oddiy shaklda yozamiz:

Bog’lanish zichligini –korrelyatsiya indeksi orqali baholaymiz:


Bu bog’lanish o’rtamiyona bo’lib, approksimatsiya xatoligini oshganligini ko’rsatadi. Ko’rsatkichli funktsiya o’rganilayotgan bog’lanishni darajali funktsiyadagi bog’lanishga nisbatan yomonroq tasvirlaydi.
1g. teng tomonli giperbola tenglamasini almashtirish bilan chiziqli xolatga keltiramiz. Bunda tenglama ko’rinishni oladi. Hisoblashlarni amalga oshirish uchun ishchi jadval tuzamiz(1.5-jadval).

1.5-jadval

	y	z	yz	z^2	y^2				Ai,%
1	68,8	0,0222	1,5255	0,000492	4733,44	61,3	7,0	49,00	10,2
2	61,2	0,0169	1,0373	0,000278	3745,44	56,5	4,9	24,01	8,0
3	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	3588,01	57,1	3,0	9,00	5,0
4	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
5	55,0	0,0170	0,9354	0,000289	3025,00	56,5	-1,4	1,96	2,5
6	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	2948,49	60,5	-6,5	42,25	12,0
7	49,3	0,0181	0,8931	0,000323	2430,49	57,8	-8,2	67,24	16,6
Ja-mi	405,2	0,1291	7,5064	0,002431	23685,76	405,2	0,0	194,90	56,5
O’r-tacha qiy-mat	57,89	0,0184	1,0723	0,000345	3383,68	x	x	27,84	8,1
σ	5,74	0,002145	x	x	x	x	x		x
σ^2	32,94	0,000005	x	x	x	x	x		x

Hisoblashlar natijalariga ko’ra a va b parametrlarning qiymatlari quyidagilarga teng bo’ladi:

,


Parametrlarning hosil bo’lgan qiymatlarini o’rinlariga qo’yib

Korrelyatsiya indeksini hisoblaymiz:

Approksimatsiyaning o’rtacha standart hatoligi .

Ikki tomonli giperbola tenglamasi bo’yicha bog’lanish kuchi chiziqli, darajali va ko’rsatkichli regressiyalarga nisbatan kuchliroq ya’ni,

esa me’yor darajasida.

2. 
   
   

Xulosa qilib shuni ta’kidlash mumkinki, tenglamaning parametrlari statistik ahamiyatga ega emasligi haqidagi H₀ gipotezani qabul qilinadi. Ushbu natijalar ko’rib chiqilgan bog’lanishlar zichligi nisbatan yuqori emasligi va kuztuvlar sonining kamligi bilan tasdiqlanadi.

2-misol.

Hududlar bo’yicha aholining bir kunlik o’rtacha ish haqi va bitta mehnatga layoqatli aholining jon boshiga to’g’ri keladigan yashash minimumi haqida ma’lumotlar berilgan(1.6-jadval).

1.6-jadval

Hududlar raqami	Bitta mehnatga layoqatli aholining jon boshiga to’g’ri keladigan yashash minimumi, ming so’m, x	Bir kunlik o’rtacha ish haqi, ming so’m, y
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Topshiriq:

1. y ni x ga juft regressiyasini chiziqli tenglamasini tuzing.

2. Juft korrelyatsiya chiziqli koeffitsientini va approsimatsiyaning o’rtachi xatoligin hisoblang.

3. Regressiya parametrlari va korrelyatsiya koeffitsientini statistik ma’nodorligini baholang.

4. Jon boshiga yashash minimumi x ning prognoz qiymati o’rtacha darajasiga nisbatan 107 foizga o’zgarganda ish haqi y ning prognoz qiymatini toping.

5. Prognoz hatoligi va uning oralig’ini hisoblab, prognoz aniqligini baholang.

Yechish

1. 
   Chiziqli regressiya tenglamasi parametrlarini hisoblash uchun ishchi jadval tuzamiz(1.7-jadval).
   

1.7-jadval

	x	y	y·x	x^2	y ^2		A	Ai,%
1	78	133	10374	6084	17689	149	-16	12,0
2	82	148	12136	6724	21904	152	-4	2,7
3	87	134	11658	7569	17956	157	-23	17,2
4	79	154	12166	6241	23716	150	4	2,6
5	89	162	14418	7921	26244	159	3	1,9
6	106	195	20670	11236	38025	174	21	10,8
7	67	139	9313	4489	19321	139	0	0,0
8	88	158	13904	7744	24964	158	0	0,0
9	73	152	11096	5329	23104	144	8	5,3
10	87	162	14094	7569	26244	157	5	3,1
11	76	159	12084	5776	25281	147	12	7,5
12	115	173	19895	13225	29929	183	-10
Jami	1027	1869	161808	89907	294377	1869	0	68,8
O’rtacha qiymat	85,6	155,8	13484,0	7492.3	24531,4	X	X	5,7
σ	12,95	16,53	X	X	X	X	X	X
σ^2	167,7	273,4	X	X	X	X	X	X

Parametrlarning hosil bo’lgan qiymatlarini o’rinlariga qo’yib

regressiya tenglamasini olamiz.

Ushbu tenglamadan aytish mumkinki, jon boshiga yashash minimumini 1000 so’mga ortishi o’rtacha kunlik ish haqini 920 so’mga ko’tarishga olib keladi.

2. 
   Chiziqli bog’lanish zichligini korrelyatsiya koeffitsienti baholab beradi.
   

Ushbu natija ish haqi bilan jon boshiga yashash minimumi orasidagi bog’lanish zichligi yuqori darajada bo’lib 0,7ga teng va y ning 52 foiz variatsiyasi x omilning varitsiyasi bilan bog’liqligini anglatadi.

Modelning sifatini approksimatsiyaning o’rtacha xatoligi formulasi orqali aniqlaymiz.


ning qiymati 10 foizdan oshmaganligi sababli tuzilgan modelni sifati yaxshi deb baholanadi.

3. 
   Regressiya parametrlarini statistik muximligini baholashni Styudent t-statistikasi va har bir ko’rsatkichni ishonch oralig’ini hisoblash orqali amalga oshiramiz.
   

Ko’rsatkichlarni nuldan farqlanishini statistik muhim emasligi haqidagi H₀ gipotezani qabul qilaylik: Erkinlik darajasi soni uchun va α = 0,05 bo’lganda t_jad qiymati 2,23ni tashkil etadi.

Endi lardagi tasodifiy hatolarni aniqlaymiz.

Bulardan:

qiymatlarni olamiz. Ko’rinib turibdiki t-statistikaning haqiqiy( t_haq ) qiymatlari jadval(t_jadv ) qiymatlaridan katta:

shuning uchun H₀ gipoteza rad etiladi, ya’ni lar tasodifan noldan farq qilmaydi, ularning statistik muximligi tasdiqlanadi.

a va b lar uchun ishonch oraliqlarini hisoblaymiz. Buning uchun har bir ko’rsatkich uchun limit xatoliklarini aniqlaymiz:


Ishonch oraliqlarini hisoblaymiz:

Demak ishonch oraliqlari:

23,0

Ishonch oraliqlarining taxlili shuni ko’rsatadiki, a va b parametrlar p=1-α = 0,95 ehtimollik bilan hisoblangan oraliqlarda nol qiymatga teng bo’lmaydi, ya’ni ular statistik muhim va noldan ancha farq qiladi.

4. 
   Tuzilgan regressiya tenglamasining baholash natijalari uni prognozlash masalalarini echish uchun qo’llash mumkinligini ko’rsatadi.
   

Agar yashash minimumining prognoz qiymati ming so’mni tashkil etsa u holda oylik ish haqining prognoz qiymati ming so’mni tashkil etadi.

5. 
   Prognozlash hatoligi
   

Prognozning limit xatoligi 95 foiz holatlarda

ming so’mdan oshmaydi.

Prognozning ishonch oralig’i:

Prognoz qilingan o’rtacha oylik ish haqini 95 foiz(p=1-α = 1-0,05=0,95) ishonchli deyish mumkin, lekin u aniq qiymat emas. Chunki ishonch oralig’ining quyi va yuqori chegaralari nisbati1,44 martaga teng, ya’ni

3-misol.

Bir turdagi mahsulot ishlab chiqaruvchi korxonalar guruhlari bo’yicha mahsulot birligi tannarxi y ning jadvalda keltirilgan omillarga qanday bog’liqligi haqidagi ma’lumotlar berilgan:

1.8-jadval

Omil belgi	Juft regressiya tenglamasi	Omilning o’rtacha qiymati
Ishlab chiqarish hajmi, mln. so’m, x1
Mahsulot birligi mexnat sig’imi, kishi/soat, x2
Bir tonna yoqilg’ining ulgurji bahosi, mln. so’m, x3
Foydaning davlatga o’tkaziladigan ulushi,%, x4

Topshiriq:

1. 
   Elastiklik koeffitsienti yordamida har bir omilni natijaga ta’sir kuchini aniqlang.
   
2. 
   Omillarni ta’sir kuchlari bo’yicha ranjirlang.
   

Echish

1. 
   
   

o’g’ri chiziq tenglamasi uchun:


- darajali bog’lanish tenglamasi uchun:

.
– darajali bog’lanish tenglamasi uchun:

2. 
   larning qiymatlarini o’zaro taqqoslab, larni maxsulot birligi tannarxiga ta’sir kuchlari bo’yicha ranjirlaymiz:
   

Korxonalar guruhi maxsuloti tannarxining shakllanishida yoqilg’i bahosi omili eng asosiy o’rinni egallaydi, keyingi o’rinni esa maxsulot birligi mehnat sig’imi va foydaning davlatga to’lanadigan ulushi. Ishlab chiqarish hajmi omili esa tannarxni kamayishiga olib keladi: ishlab chiqarish hajmining 1 foizga o’sishi maxsulot birligi tannarxini 0,97 foizga kamayishiga olib keladi.

4-misol.

20 ta oilaning yashash sharoitini o’rtacha jon boshiga to’g’ri keladigan daromadga bog’liqligini o’rganish natijalari quyidagicha tavsiflangan:

regressiya tenglamasi: ;

korrelyatsiya indeksi:

qoldiq dispersiya:

Topshiriq:

Olingan natijalarni dispersion tahlil qiling.

Yechish

1.9-jadval

u ning variatsiyasi	Erkinlik darjasi soni	Chetlanishlar kvadratlari yig’indisi, S	Bitta erkinlik darajasiga dispersiya, D		k1=1, k2=18
Umumiy		6,316	-	-	-
Haqiqiy	k1 = m = 1	5,116	5,116	76,7	4,41
Qoldiq	k2 = n-m-1=18	1,200	0,0667	-	-

munosabat o’rinli bo’lganligi sababli, omil(haqiqiy) va qoldiq dispersiyalarning farqlanishini tasodifiyligi haqidagi gipoteza o’rinli emas. Bu farqlanishlar muxim, statistik nuqtai nazardan axamiyatli, tenglama ishonarli, ahamiyatli, bog’lanish zichligi ko’rsatkichi ishonchli va oilalarning yashash sharoiti o’rtacha jon boshiga to’g’ri keladigan daromad miqdoriga bog’liqligini ifodalaydi.