Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar “ kafedrasi

n_y

15	5	7	–	–	–	–	12
25	–	20	23	–	–	–	43
35	–	–	30	47	2	–	79
45	–	–	10	11	20	6	47
55	–	–		9	7	3	19
nx	5	27	63	67	29	9	n=200

Shartli variantalar bo`yicha korrelyasion jadval tuzamiz. Bu amalda bunday bajariladi: birinchi ustunda eng katta chastotaga ega bo`lgan varianta (35) o`rniga 0, nolning tepasiga ketma-ket —1, —2, nolniyag tagiga 1,2 yoziladi. Birinchi satrda eng katta chastotaga ega bo`lgan varianta (40) o`rniga 0, noldan chapda ketma-ket —1, —2,—3, noldan o`ngda 1,2 yoziladi. Qolgan barcha ma’lumotlar dastlabki korrelyasion jadvaldan ko`chirib yoziladi. Natijada shartli variantalar bo`yicha 19- korrelyasion jadvalni hosil kilamiz.

σ_uva σ_v kattaliklarni ko`paytmalar metodi bilan topish mumkin; ammo u<sub>i</sub> va v<sub>i</sub> lar kichik bo`lgani uchun va ni o`rtacha qiymat ta’rifiga asoslanib, σ_uva σ_vva 6, ni esa ushbu formulalardan foydalanib xisoblaymiz;

,

va ni topamiz:




Yordamchi miqdorni, keyin esa σ_u ni hisoblaymiz




Shunga o`xshash σ_v=1,209 ni hosil qilamiz.

ni to`rt maydon usuli bilan topamiz, buning uchun

6- hisoblash jadvalini tuzamiz.

5-jadval

u v	-3	-2	-1	0	1	2	nv
-2	5	7	–	–	–	–	12
-1	–	20	20	–	–	–	43
0	–	–	30	47	2	–	79
1	–	–	10	11	20	6	47
2	–	–		9	7	3	19
nu	5	27	63	67	29	9	n=200

6-jadval

	-3			-2					-1					0			1				2				1			II
–2		6			4		–								–				–				58			–
	5			7
–1	–					2				1						–				–				63			–
				20					23
0																									III			IV
1	–			–							–1							1				2		–10			32
									10								20				6
2	–			–					–									2				4		–			26
																	7				3
1	30			68					23					III			–				–				121			–
III	–			–					–10					IV			34				24				–10			58

Yakuniy kataklardagi (6- jadvalning pastki o`ng burchagidagi 4 ta katak) sonlarni qo`shamiz:

Izlanayotgan korrelyasiya kozffisentini topamiz:

Shunday qilib,

1.4. Tanlanma korrelyasion nisbat

Tanlanmada belgilar orasidagi chiziqli korrelyasion bog`lanish zichligini baholash uchun tanlanma korrelyasiya koeffisienti xizmat qiladi. Nochiziqli korrelyasion bog`lanish zichligini baholash uchun quyidagi yangi yig`ma xarateristikalar kiritiladi:

— Y ning X ga tanlanma korrelyasion nisbati;

— Y ning X ga tanlanma korrelyasion nisbati.

Y ning X ga tanlanma korrelyasion nisbati deb, gruppaaro o`rtacha kvadratik chetlanishning umumiy o`rtacha kvadratik chetlanishga nisbatiga aytiladi:

yoki, belgilasak,

bu yerda

bu yerda l — tanlanma hajmi (barcha chastotalar yig`indisi);

– X belgi x qiymatining chastotasi;

– Y belgi y qiymatining chastotasi;

– Y belgining umumiy o`rtacha qiymati,

– belgining shartli o`rtacha qiymati.

X ning Y ga tanlanma korrelyasion nisbati shunga o`xshash aniqlanadi:

Misol, 7- korrelyasion jadval ma’lumotlari bo`yicha ni toping. 7- jadval.

X y	10	20	30
15	4	28	6	38
25	6	–	6	12
	10	28	12
	21	15	20

Yechilishi. Umumiy o`rtacha qiymatni topamiz:

Umumiy o`rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:

Gruppaaro o`rtacha chetlanishni topamiz:

Izlanayotgan korrelyasion nisbat:

Tanlanma korrelyasion nisbatning xossalari

qanday xossalarga ega bo`lsa, ham shu xossalarga ega bo`lgani uchun faqat nisbatning xossalarini sanab o`tamiz va yozuvni soddalashtirish maksadida keyin uni deb belgilaymiz hamda aytishga oson bo`lishi uchun “korrelyasion nisbat” deymiz.

1. Korrelyasion nisbat ushbu qo`sh tengsizlikni qanoatlantiradi:

Isbot. manfiy bo`lmagan sonlar— (gruppaviy va umumiy) o`rtacha kvadratik chetlanishlarning nisbati ekanligidan kelib chiqadi.

tengsizlikni isbotlash uchun

formuladan foydalanamiz. Bu tenglikning ikkala qismini ga bulamiz:

yoki

Ikkala qo`shiluvchi ham manfiymas va ularning yig`indisi birga teng bo`lgani uchun har biri ham birdan ortiq bo`lmaydi, xususan

ekanligini e’tiborga olib, bunday xulosaga kelamiz:

2. Agar bo`lsa uholda Y belgi ham X belgi bilan korrelyasion bog`lanish bilan bog`lanmagan.

Isboti. Shartga ko`ra

bu yerdan

va demak.

Gruppaaro dispersiya shartli (gruppaviy) o`rtacha qiymatlarning umumiy o`rtacha qiymatga nisbatan dispersiyasidir.

Gruppaaro dispersiyaning nolga tengligi shartli o`rtacha qiymatlar X belgining barcha qiymatlarida (umumiy o`rtacha qiymatga teng bo`lgan) o`zgarmas qiymatini saqlashini bildiradi. Boshqacha so`z bilan aytganda, bo`lganda hartli o`rtacha qiymat X ning funksiyasi emas, va demak, Y belgi X belgiga korrelyasion bog`lanish bilan bog`lanmagan.

1-eslatma. Teskari da’voni ham isbotlash mumkin: agar Y belgi X belgiga korrelyasion bog`lanish bilan bog`lanmagan bo`lsa, u holda .

3. Agar bo`lsa, u holda Y belgi X belgiga funksional bog`lanish bilan bog`langan.

Isboti. Shartga ko`ra

Bu erdan

Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko`tarib,

(*)

ni hosil qilamiz. bo`lgani uchun (*) ga ko`ra

(**)

Gruppaichi dispersiya gruppaviy dispersiyalarnivg (gruppalarning hajmlari bo`yicha vazniy) arifmetik o`rtacha qiymati bulgani uchun (**) dan har bir (Y ning

X ning tayin qiymatiga mos qiymatlarining) dispersiya nolga tengligi kelib chiqadi. Bu esa har bir gruppada Y ning teng qiymatlari borligini, yani X ning har bir qiymatiga Y ning bitta kiymati mos kelishini anglatadi. Demak, bo`lganda Y belgi X belgiga funksional bog`lanish bilan bog`langan.

2-eslatma. Teskari da’voni ham isbotlash mumkin: agar Y belgi X belgiga funksional bog`lanish bilan bog`langan bo`lsa, u holda .

Yana ikkita da’voni isbotsiz keltiramiz:

4. Tanlanma korrelyasion nisbat tanlanma korrelyasion koeffitsiyentining absolyut qiymatidan kichik emas:

5. Agar tanlanma korrelyasion nisbat tanlanma korrelyasiya koeffisientining absolyut qiymatiga teng bo`lsa, u holda aniq chiziqli bog`lanish o`rinli bo`ladi.

Boshqacha so`z bilan aytganda, agar bo`lsa, u holda … nuqtalar eng kichik kvadratlar metodi bilan topilgan regressiya to`g`ri chizig`ida yotadi.

II BOB. YUQORI TARTIBLI MOMENTLAR

2.1. Yuqori tartibli momentlar.

Tasodifiymiqdorlarningboshqasonlixarakteristikalariga ham to‘xtalibo‘tamiz. Bundayxarakteristikalarsifatidako‘phollardayuqoritartiblimomentlarishlatiladi.

Agar   tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F(x) bo‘lsa,

Integral tasodifiy miqdorning k-tartiblimomenti yoki k-tartibli boshlang‘ich momenti deyiladi. Тushunarliki, agar

integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, k-tartibli   moment mavjud bo‘ladi  . Ehtimolliklarnazariyasida   momentning  mavjudligini   k-tartibliabsolyut moment mavjud bo‘lgan hol bilan tenglashtiriladi.

Agar   tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi F(x) diskret tipda bo‘lib, uning uzilish nuqtalari

ketma-ketliknitashkilqilsa, u holdaStiltesintegralining хossasigako‘ra k-tartibli moment

tenglikbilan aniqlanadi. Bu yerda

bo‘lib,

qator yaqinlashadi deb farazqilinadi.

Agar   tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F(x) uzulksiz tipda bo‘lib, f(x) funksiya uning zichlik funksiyasi bo‘lsa  , u holda Stiltes integralining хossasiga asosan

tenglikbilan aniqlanadi. Bu holda esa

integral yaqinlashadi deb farazqilinadi. Nolinchi tartibdagi moment doimmavjudva

.

Birinchitartiblimoment

 tasodifiy miqdorning o‘rta qiymati yoki matematik kutilmasi bo‘ladi. Agar c o‘zgarmas son bo‘lsa,

integralga   tasodifiy miqdorning c ga nisbatan k-tartibli momenti deyiladi. Matematikkutilmaganisbatanmomentlar

 tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy momentlari deb ataladi.

Bu yerda   ifodani Nyuton binomi formulasi bilan ochib chiqib, quyidagiformulalarnihosilqilamiz:

vahakozo. Ular k-tartibli momentlar   larni markaziy momentlar   bilan bog‘laydilar. O‘zgarmas c ganisbatanikkinchitartibli moment uchun

munosabatgaegabo‘lamizvaundan

                                        (*)

tenglikniolamiz. Ma’lumki, bu moment tasodifiymiqdor   ning dispersiyasi deb ataladi va   uchun asosiy sonli хarakteristikalardanhisoblanadi. Isbot etilgan (*) munosabatni   tasodifiy miqdor dispersiyasining ta’rifi sifatida qabul qilinishi mumkin.

Agar   bo‘lsa, markaziy moment boshlang‘ich momentga teng bo‘ladi.

            tasodifiy miqdorning   -tartibli markaziy absolyut momenti deb

Ifodaga aytiladi.

 Хususan, agar   bo‘lsa,  -tartibli markaziy absolyut moment  -tartibli boshlang‘ich absolyut moment bilan ustma-ust tushadi.

2.2. Yuqori tartibli momentlar uchun tengsizliklar.

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi

Ikkinchi tartibli momentga ega iхtiyoriy   va   tasodifiy miqdorlar uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:

.

Isbot. Ma’lumki,    hamda   va   momentlar chekliligidan   ekani kelib chiqadi.   va   o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan musbat aniqlangan ush bu 

kvadratik formaning diskriminanti

bundan esa (1) tengsizlikning o‘rinlili ekani kelib chiqadi.

Gyolder tengsizligi

Aytaylik,  1 ehtimolik bilan  ,   va   sonlar uchun     munosabatlar o‘rinli bo‘lsin.

Agar    va   bo‘lsa, u holda

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Gyolder tengsizligida p=q=2 deb olinsa, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi.

         Ko‘p hollarda berilgan   tasodifiy miqdorning chiziqli kombinatsiyalari bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi, ularning yuqori tartibli momentlari uchun

formulani isbot etish mumkin.

Endi yuqori tartibli   absolyut momentlar –   larga tegishli quyidagi hossani isbotlaylik. Buning uchun   va   o‘zgaruvchilarga nisbatan

Manfiy bo‘lmagan kvadratik formani ko‘raylik. Bu kvadratik formaning determinantini hisoblab,

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikda navbati bilan   deb hisoblansa,

 .

Hosil bo‘lgan tengsizliklarni o‘zaro ko‘paytirsak,

tengsizliklar kelib chiqadi. Oхirgidan esa

ekanligi kelib chiqadi. Хususan,

va bu tengsizliklar Lyapunov tengsizliklari deb ataladi.

Iхtiyoriy taqsimot funksiya F(x) ning hamma tartibdagi momentlari

mavjud bo‘lsin. Bu momentlar F(x) funksiyani bir qiymatli aniqlaydi degan masalani qo‘yamiz. Bu masala matematikanalizdagi “momentlar problemasi” deb ataladigan umumiy masala bilan bog‘liq va uning yechimidan quyidagi natija kelib chiqadi. Agar

qator biror r>0 uchun yaqinlashsa, F(x) funksiya   momentlarga ega bo‘lgan yagona funksiya bo‘ladi.

Тasodifiy miqdorning dispersiyasi (ikkinchi tartibli markaziy momenti) bu miqdor qiymatlarining o‘rta qiymat atrofida qanday tarqoqlik bilan joylashganligini хarakterlaydi. Shundan kelib chiqib, yuqori tartibdagi momentlarning ehtimollik ma’nolari haqida to‘хtab o‘tamiz.

Agar F(x) simmetrik taqsimot funksiyasi (ya’ni   simmetrik tasodifiy miqdor) bo‘lsa, uning hamma toq tartibdagi momentlari 0 ga teng bo‘ladi (albatta shu momentlar mavjud bo‘lganda). Bungabutaqsimotuchun

tenglik o‘rinli ekanligidan ishonch hosil qilish mumkin. Demak, hamma 0 ga teng bo‘lmagan toq tartibdagi momentlarni  taqsimotning asimmetriklik хarakteristikasi sifatida qabul qilish mumkin. Shu ma’noda eng sodda asimmetriklik хarakteristikasi sifatida, berilgan taqsimotning 3-tartibli momenti olinadi. Masshtab bir jinsligini hisobga olgan holda

Ifodani taqsimotning asimmetriklik koeffitsienti deb qabul qilinadi. Juft tartibli (dispersiyaga nisbatan yuqori tartibli) momentlarga ehtimollik ma’nosi berish mumkin. Masalan,

ifoda F(x) taqsimotning ekssess koefitsienti deb atalib, u F(x) ning “markaz” (o‘rta qiymat) atrofidagi “silliqlik” darajasini хarakterlaydi.

Berilgan taqsimotning momentlari mavjudligini tekshirib ko‘rish qiyin bo‘lmaydi, chunki bu masala “chap qoldiq” F(-x) va “o‘ng qoldiq” (1- F(x)) ning   dagi asimptotikalariga bog‘liq. Masalan,

bo‘lsa, bu taqsimot uchun   tartibdagi hamma momentlar mavjud bo‘ladi. 

Xulosa

Ushbu kurs ishi korrelyasiya koeffisiyenti va yuqori tartibli momentlarga bag’ishlangan. Kurs ishi kirish, ikkita bob, oltita paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.

Birinchi paragrafda Ikki tasodifiy miqdor sistemasining sonli xarakteristikalari. Korrelyasiya momenti va korrelyasiya koeffisiyenti keltirilgan.

Ikkinchi paragrafda tanlanma korrelyasiya koeffisientining xossalari keltirilgan.

Uchinchi paragrafda tanlanma korrelyasiya koeffisientini hisoblashning to`rt maydon usuli keltirilgan.

To‘rtinchi paragrafda tanlanma korrelyasion nisbat va uning xossalari keltirilgan.

Beshinchi paragrafda yuqori tartibli momentlar keltirilgan.

Oltinchi paragrafda yuqori tartibli momentlar uchun tengsizliklar keltirilgan. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi, Gyolder tengsizligi o’rinliligi va undan Lyapunov tengsizliklari  kelib chiqishi va isbotlari bilan ko’rsatilgan.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1.S.X Sirojiddinov, M.M.Mamatov “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika”. “O’qituvchi” Toshkent 1980-yil. 23-29, 71-82, 104-112 b.

2.Б.В. Гнеденко “Курс теории вероятностей” “Наука” Москва 1987 г. 43-51 стр.

3.А. Боровков “Теория вероятностей”. “Наука” Москва 1986 г. 254-263 стр.

4. А. Н. Ширяев “Вероятность”. “Наука” Москва 1985 г. 147-158 стр.

5. L. Fejer and F. Riesz, Uber einige funktionaltheoretische Ungleichungen, Math. Z. 11 (1925) 305-314.

6. E. C. Francis and J. E. Littlewood, Examples in Infinite Series, Deighton Bell, Cambridge, 1928.

7. K. Grandjot, On some identities relating to Hardy's convergence theorem, J. London Math. Soc. 3 (1928) 114-117.

8. G. H. Hardy, Notes on some points in the integral calculus, XLI. On the convergence of certain integrals and series, Messenger of Math. 45 (1915) 163-166.

9. Notes on some points in the integral calculus, LI. On Hubert's double-series theorem, and some connected theorems concerning the convergence of infinite series and integrals, Messenger of Math. 48(1919) 107-112.

10. www.academia.edu/3683699/Ehtimollar nazariyasi

11. Notes on some points in the integral calculus, LX. An inequality between integrals, Messenger of Math. 54 (1925) 150-156.

12. -,Note on a theorem of Hubert concerning series of positive terms, Proc. London Math. Soc. 23(1925)45-46.

13. -,Remarks on three recent notes in the journal, J. London Math. Soc. 3 (1928) 166-

14. -,Prolegomena to a chapter on inequalities, J. London Math. Soc. 4 (1929) 61-78.

15. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. Polya, The maximum of a certain bilinear form, Proc. London Math. Soc. 25(1926) 265-282.

Internet saytlari

1. www.ppf.uni.udm.ru

2. www.talant.spb.ru/wald.html

3. www.school.edu.ru

4. www.ziyonet.uz