Fargʻona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti matematika yoʻnalishi 20. 05A-guruh talabasi Dilobar Umarova Rahmatxo’ja qizining “Bog’liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Binomial taqsimot” mavzusida yozilgan kurs ishiga taqriz

2.3 Bernulli teoremasi
ta erkli sinash oʻtkazilayotgan boʻlib, ularning har bi rida hodisaning roʻy berish ehtimoli ga teng boʻlsin. Hodisa ruy berishining nisbiy chastotasi taxminan qanday boʻlishini avvaldan koʻra bilish mumkinmi? Bu savolga Yakov Bernulli tomonidan isbotlangan teorema (1713 yil da nashr etilgan) ijobiy javob beradi, bu teorema “katta sonlar qonuni” nomi bilan yuritiladi; u ehtimollar nazariyasining fan sifatida shakllanishiga asos soldi. Bernullining isboti murakkab edi. Teoremaning sodda isbotini P. L. Chebishev 1846 yilda bayon etgan.
Bernulli teoremasi. Agar l ta erkli sinashning har birida hodisaning roʻy bershi ehtimoli oʻzgarmas va sinashilar soni yetarlicha katta boʻlsa, u xolda nisbiy chastotaning extimoldan chetlanishi absolyut qiymat boʻyicha istalgancha kichik boʻlish ehtimoli birga istalgancha yaqin boʻladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar istalgancha kichik musbat son boʻlsa, u holda teorema shartlari bajarilganda quyidagi tenglik oʻrinli boʻladi:

Isboti. orqali (diskret tasodifiy miqdor) birin chi sinashda, orqali ikkinchi sinashda, , orqali p sinashda hodisaning roʻy berish sonini belgilaymiz.
Ravshanki, bu miqdorlarning har biri faqat ikkita qiymat: 1 ni ( hodisa roʻy berdi) p extimol bilan, va 0 ni (hodisa roʻy bermadi) ehtimol bilan qabul qilishi mumkin.
Qaralayotgen miqdorlarga Chebishev teoremasini qoʻllash mumkinmi? Agar tasodifiy miqdorlar juft-juft erkli va ularning dispersiyalari chegaralangan boʻlsa, mumkin. Ikkala shart ham bajariladi. Haqiqatan ham miqdorlarning juft-juft erkligi tajribalarning erkliligidan kelib chikadi. Ixtiyoriy miqdorning dispersiyasi koʻpaytmaga teng. boʻlgani uchun koʻpaytma dan ortmaydi. Demak, bu miqdorlarning dispersiyalari chegaralangan, masalan. soni bilan.
deb qabul qilinganda kelib chiqadi.
( Maʻlumki, yigʻindisi oʻzgarmas boʻgan ikki sonning koʻpaytmasi oʻzining eng katta qiymatiga koʻpaytuvchilar oʻzaro teng boʻlgan holda erishadi. Bu yerda yaʻni oʻzgarmas, shuning uchun da eng katta qiymatiga ega boʻladi, bu qiymat ga teng.)
Koʻrilayotgan miqdorlarga Chebishev teoremasini (xususiy holini) qoʻllanib, kuyidagini xosil qilamiz:

Har bir miqdorning a matematik kutilishi (ya’ni bitta sinashda hodisaning ro’y berish sonining matematik kutilishi) hodisaning ruy berish ehtimoli ga teng ekanligini e’tiborga olib quyidagiga ega bo’ lamiz:

Endi kasr n ta sinashda hodisa roʻy berishining nisbiy chastotasi ga tengligini koʻrsatish qoldi, xolos. Haqiqatan, miqdorlarning har biri hodisa mos sinashda roʻy berganida birni qabul kiladi; demak yigindi n ta sinashda hodisaning roʻy berish soni m ga teng, demak,

Bu tenglikni hisobga olib, uzil-kesil

tenglikni hosil qilamiz.
Eslatma. Bernulli teoremasiga asoslanib, sinashlar soni ortishi bilan nisbiy chastota albatta ehtimolga intiladi, deb xulosa chikarish notoʻg`ri boʻlar edi; boshqacha qilib aytganda, Bernulli teoremasidan tenglik kelib chikmaydn. Teoremada fakat tajribalar soni yetarlicha katta boʻlganda nisbiy chastotaning har bir sinashda hodisa roʻy berishining oʻzgarmas ehtimolidan istalgancha kam faqk qilishi extimoli toʻg`risida soʻz boradi.
Shunday qilib, nisbiy chastotaning extimolga intilishi matematik
analizdagi maʻnoda intilishdan farq qiladi. Bu farqimi taʻkidlash maqsadida “ehtimol boʻyicha” yaqinlashish tushunchasi kiritaladi. Aniqrogʻi, koʻrsatilgan intilish turlari orasidagi farq quyidagidan iborat: agar nisbat da matematik analizdagi intilish maʻnosida ga intilsa, u holda uchun va undan keyingi barcha n lar uchun albatta tengsizlik bajariladi; agarda nisbat da ga ehtimol boʻyicha intilsa, u holda ning ayrim qiymatlarida tengsizlik bajarilmay qolishi mumkin.
Shunday qilib, Bernulli teoremasiga koʻra da nisbiy chastota ga ehtimol boʻyicha intiladi. Berkulli teoremasi qisqacha kuyidagicha yoziladi:

Koʻrinib turibdiki, Bernulli teoremasi sinashlar soni yetarlicha koʻp boʻlganda nisbiy chastota nima uchun turgʻunlik xossasiga ega boʻlishini tushuntiradi va extimolning statistik taʻrifini asoslaydi.
XULOSA
Yosh avlоdga ta’lim berish jarayonini samarali tashkil etish, ularga ilmiy bilimlarni berish uchun zarur shart-sharоitlarni yaratish ustivоr yo‘nalishlardan biri sifatida e’tirоf etilgan. Bu ta’lim sоhasining yuksak darajada rivоjlanishinigina kafоlati bo‘lmay balki xalq xo‘jaligini malakali yetuk kadrlar bilan ta’minlash imkоnini ham beradi.

Bizga maʻlumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazari-yasining hayotga boʻlgan tadbiqlari boʻlimi salohiyati va amaliy qoʻllay bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda koʻp tushunchalarni oʻz ichiga oladi. Markaziy limit teoremalari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini yaxshi oʻzlashtirish, unga tegishli boʻlgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi. Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida tasodifiy hodisalar va tasodifiy miqdorlar haqidagi tushunchani, baʻzi muxim taqsimotlarni, bog’liqsiz tajribalar ketkma-ketli va Bernulli formulasi hamda Bernulli teoremalarini hayotiy masalalarga bo’lgan tatbiqlari bilan tanishib chiqdim.

Ehtimollar nazariyasi va matematik sttistik fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o`zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o`rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o`quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va qo`shimcha ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o`qituvchi o`quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak.