Fargʻona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti matematika yoʻnalishi 20. 05A-guruh talabasi Dilobar Umarova Rahmatxo’ja qizining “Bog’liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Binomial taqsimot” mavzusida yozilgan kurs ishiga taqriz

Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni
(X, Y) ikki oʻlchovli tasodifiy miqdor taqsimot qonunini
(1.3.2)

Y	^y1	^y2	…	^ym
X
^x1	^p11	^p12	…	^p1m
^x2	^p21	^p22	…	^p2m
…	…	…	…	…
^xn	^pn1	^p21	…	^pnm

(1.3.3)

bu yerda barcha p_ij ehtimolliklar yigʻindisi birga teng, chunki birgalikda boʻlmagan hodisalar toʻla gruppani tashkil etadi. (1.3.2) formula ikki oʻlchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, (1.3.3) jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.

(X, Y) ikki oʻlchovli diskret tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan boʻlsin, har bir kompanentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish mumkin. Har bir uchun hodisalar birgalikda boʻlmaganligi sababli
Demak,
, .
3.1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta koʻk shar boʻlgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X tasodifiy miqdor va koʻk rangdagi sharlar soni Y tasodifiy miqdor boʻlsin. (X,Y) ikki oʻlchovli tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarini toping.
X tasodifiy miqdorqabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y tasodifiy miqdorning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz:

;

(X, Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha koʻrinishga ega:

Y		0		1
X
0		1			2
		6		6
1		2			1
		6		6

Bu yerdan

kelib chiqadi. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarni quyidagi ko’rinishda bo’ladi.


va
II. BOB
BERNULLI TASODIFIY MIQDORLARNING KETMA-KETLIGI
2.1 Bogʻliqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi
Agar bir necha tajribalar oʻtkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning roʻy berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bogʻliq boʻlmasa, bunday tajribalar bogʻliqsiz tajribalar deyiladi.
n ta bogʻliqsiz tagribalar oʻtkazilayotgan boʻlsin. Har bir tajribada A hodisaning roʻy berish ehtimolligi va roʻy bermasligi ehtimolligi boʻlsin.
Masalan
1) Nishonga qarata oʻq uzish tajribasini koʻraylik. Bu yerda A={oʻq nishonga tegdi} - muvaffaqqiyat va A = {oʻq nishonga tegmadi} – muvaffaq- qiyatsizlik;
2) endi biz n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganimizda muvaffqiyat, muvaffaqiyatsizlik boʻladi.
Bu kabi tajribalatda elementar hodis alar fazosi faqar ikki elementadan iborat boʻladi: bu yerda hodisa roʻy bermasligini, hodisa roʻy berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q lar orqali belgilanadi.
Agar n ta tajriba oʻtkazilayotgan boʻlsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni 2ⁿ ga teng boʻladi. Masalan, n=3 da
yaʻni toʻplam 2³=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini koʻpaytirish teoremasiga koʻra hisoblash mumkin:

,
.
n ta bogʻliqsiz tajribada A hodisa m marta roʻy berish ehtimolligini hisoblaylik:

Har bir qo’shiluvchi ko’paytirish qoidasiga ko’ra ga teng.
Demak,
, .
Agar n ta boʻgʻliqsiz tajribaning har birida A hodisaning roʻy berish ehtimolligi p ga, roʻy bermasligi q ga teng boʻlsa, u holda A hodisaning m , (2.1.1)
(2.1.1) formula Bernulli formulasi deyiladi. ehtimollik uchun tenglik oʻrinlidir. Haqiqatdan ham,

Nyuton binomi formulasida deb olsak,

yaʻni

boʻladi.
(2.1.1) ehtimolliklar xossalari:
1. .
2. Agar boʻlsa,
3. n ta bogʻliqsiz tajribada A hodisaning kamida 1 marta roʻy berishi ehtimolligi boʻladi.
Chunki,
4. Agar ehtimollikning eng katta qiymati boʻlsa, u holda quyidagicha aniqlanadi: -eng ehtimolli son deyiladi va
a) agar kasr son boʻlsa, u holda yagonadir;
b) agar butun son boʻlsa, u holda ikkita boʻladi.
1-misol. Ikki teng kuchli shaxmatchi shaxmat oʻynashmoqda. Qaysi hodisaning ehtimolligi katta: 4 ta partiyadan 2 tasida yutishmi yoki 6 ta partiyadan 3 tasida yutish.
Birinchi holda: n=4, m=2, . Bernulli formulasiga koʻra


.
Ikkinchi holda n=6, m=3, va Bernulli formulasiga koʻra:
.
Demak 4 ta partiyadan, 2 tasida yutish ehtimolligi katta ekan.