Fənn: Riyazi analiz-1(2100)

Teorem 9.1.1. 𝒙𝟎 nöqtəsində və onun müəyyən ətra-fında təyin olunmuş 𝒇(𝒙) funksiyasının 𝒙𝟎 nöqtəsində kəsilməz olması üçün zəruri və kafi şərt



bərabərliyinin ödənilməsidir.

Kəsilməz funksiyaların xassələri

Tutaq ki, (𝑥) və 𝑔(𝑥) funksiyaları 𝑥0 nöqtəsində kə-silməzdir. Onda aşağıdakı funksiyalar da kəsilməzdir:

a) ∀𝐶 sabiti üçün 𝐶∙(𝑥) və ya 𝐶∙𝑔(𝑥);

b) (𝑥)±𝑔(𝑥); c) 𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥);

d) (𝑥)/𝑔(𝑥), 𝑔(𝑥)≠0.

Kəsilməz funksiyaların, çox mühüm əhəmiyyət kəsb edən aşağıdakı kimi xassəsini qeyd edək: “Əgər (𝑥) funksiyası 𝑥0 nöqtəsində kəsilməzdirsə və bu nöqtədə 𝑓(𝑥0)≠0 olarsa, onda bu nöqtənin elə ətrafı var ki, həmin ətrafda funksiya öz işarəsini saxlayır” (Müsbətdirsə müsbət işarəsini, mənfidirsə mənfi işarəsini).

5. Funksiyanın törəməsi. Törəmənin həndəsi və mexaniki mənası.

Törəmə anlayışı riyaziyyatın mühüm anlayışlarından biridir. Törəmə riyaziyyat, fizika və eləcə də digər elm sahələrində, müxtəlif proseslərin öyrənilməsində geniş tətbiq olunur.

Tərif 1. Əgər şərtində (1) nisbətinin sonlu limiti varsa, onda həmin limitə y=f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi deyilir.

Verilmiş x nöqtəsində törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. (a, b) intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır.

Funksiyanın törəməsini tapmaq əməlinə həmin funksiyanın diferensiallanması deyilir.

►Törəmənin həndəsi mənasının tərifi. İxtiyari L əyrisi və onun üzərində M₀ nöqtəsində götürək. L əyrisinin ixtiyari M və M₀ nöqtəsindən bir kəsən çəkək. M nöqtəsi L əyrisi boyunca öz yerini dəyişdikdə M₀M kəsəni də ümümiyyətlə M₀ nöqtəsi ətrafında öz vəziyyətini dəyişər və nəticədə M₀ nöqtəsinə yaxınlaşdıqda M₀M kəsəni müəyyən M₀T limit vəziyyətinə yaxınlaşarsa, kəsənin həmin limit vəziyyətinə M₀ nöqtəsində L əyrisinə toxunan deyilir.

Deməli törəmənin həndəsi mənası belədir: y=f(x) funksiyasının x₀ nöqtəsində

f ꞌ(x₀) funksiyanın qrafiki olan əyriyə M₀ (x₀ , f (x₀)) nöqtəsində çəkilmiş bucaq əmsalına bərabərdir:

k = tg (1)

►İndi isə həmin L əyrisinə M₀ nöqtəsində çəkilmiş M₀T toxunanın tənliyini yazaq. Məlumdur ki verilmiş nöqtədən keçən və bucaq əmsalı k olan M₀T düzxəttinin tənliyi

(2)

şəklində yazılır. y₀= olduğundan toxunanın tənliyini

(3)

►L əyrisinə M₀ nöqtəsində çəkilmiş toxunana həmin nöqtədə perpendikulyar olan düzxəttə əyrinin normalı deyilir. Həmin normalın tənliyi

(4)

şəklində yazılar.

►Törəmənin mexaniki mənasının tərifi. Hər hansı cismin dəyişənsürətli düzxətli hərəkətinə baxsaq, həmin cismin ülçülərini və şəklini nəzərə almayaraq, onun fiziki baximindan maddi nöqtə hesab etmək olar. məlumdur ki, hərəkət edən nöqtənin getdiyi yolu zamandan asılıdır: s = s(t) nöqtənin t zaman əslində getdiyi yol s(t), t+∆t zamanında isə getdiyi yol s(t+∆t) = s(t) + ∆s olarsa, onda baxılan nöqtə ∆t zamanı ərzində ∆s məsafəni getmiş olar. Belə olan halda

v_or = (5)

nisbəti nöqtənin hərəkətinin orta sürətinə bərabər olar. Həmin nisbətdə şərtində limitə keçsək nəticədə alırıq ki,

v(t) = sꞌ(t) (7)

Buradan törəmənin mexaniki mənası alınlır: hərəkət edən nöqtənin sürəti gedilən məsafənin zamana görə törəməsinə bərabərdir.

6.Funksiyanın ekstremumu. Funksiyanın parçada ən böyük və ən kiçik qiyməti.

Əgər 𝑥0 nöqtəsinin kifayət qədər yaxın ətrafında yerləşən bütün 𝑥-lər üçün

(𝑥)≤𝑓(𝑥₀) (𝑓(𝑥)≥𝑓(𝑥₀)

olarsa, onda 𝑥₀ nöqtəsinə 𝑓(𝑥) funksiyasının maksimum (minimum) nöqtəsi deyilir. 𝑥₀ nöqtəsində funksiyanın aldığı (𝑥₀) qiymətinə isə onun maksimumu (minimumu) deyilir və 𝐦𝐚𝐱 𝒇(𝒙) (𝐦𝐢𝐧 𝒇(𝒙) kimi işarə olunur. Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələri ümu-milikdə onun ekstemum nöqtələri, həmin nöqtələrdə aldığı maksimum və minimum qiymətləri isə funksiyanın ekstremumları adlanır.

Funksiya ekstremu-munun varlığı üçün zəruri şərt adlanan teoremi qeyd edək: