16
X, Y tasodifiy miqdor qabul qilishi kerak bo’lgan barcha qiymatlarni tuzib
chiqaylik, buning uchun X ning mumkin bo’lgan
barcha qiymatlarini Y ning
mumkin bo’lgan har bir qiymatiga ko’paytirib chiqamiz,
natijada
larni hosil qilamiz:
Matematik kutilish mumkin bo’gan barcha qiymatlarini ularning ehtimollariga
ko’paytmalari yig’indisiga teng:
yoki:
Natija: Bir nechta o’zaro erkli tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining
matematik kutilishi ularning matematik kutilishlari ko’paytmasiga teng.
Masalan, uchta tasodifiy miqdorlar uchun quyidagicha bo’ladi:
M(XYZ)=M(XY Z)=M(XY) M(Z)=M(X) M(Y) M(Z) .
Ixtiyoriy sondagi tasodifiy miqdorlar uchun isbot
matematik induksiya metodi
bilan olib boriladi.
4-xossa:Ikkita tasodifiy miqdor yig’indisining matematik kutilishi
qo’shiluvchilarning matematik kutilishlari yig’indisiga teng.
M(X+Y)=M(X)+M(Y)
17
Isboti: X va Y ning barcha mumkin bo’lgan
qiymatlarini tuzamiz, buning
uchun X ning mumkin bo’lgan har bir qiymatiga Y ning mumkin bo’lgan
har bir
qiymatini qo’shamiz:
larni hosil qilamiz.
Bu qiymatlarning ehtimollarini mos ravishda
orqali
belgilaymiz.
miqdorning miqdorning matematik kutilishi mumkin bo’lgan
qiymatlarni ularning ehtimollariga ko’paytmalari yig’indisiga teng:
.
(*)
ekanliginiisbotlaymiz. X tasodifiy miqdor
qiymatni qabul qilish
hodisasi (bu hodisani ehtimoli
ga teng)
tasodifiy miqdor
yoki
qiymatni qabul qilish hodisasini ergashtiradi va aksincha.
Bundan
tenglik kelib chiqadi. Ushbu
Tengliklar ham shunga o’xshash isbotlanadi.
Bu tengliklarning o’ng tomonlarini (*) munosabatga qo’yib, quyidagini hosil
qilamiz.
Yoki uzil kesil.
M(X+Y)=M(X)+M(Y)
