Fizika-matematika fakulteti

Bob. Aksiomlar sisitemasi . Evkilidning negizlar asosi .


1.1-Aksiomalar sistemasi va unga qo’yiladigan talablar .


Aksioma (yun. axioma) — oʻz-oʻzidan ravshanligi, ayonligi sababli isbotsiz qabul qilinadigan holat, tasdiq, fikr. Deduktiv quriladigan ilmiy nazariyalarda asosiy tushunchalarning boshlangʻich xossalari. Aksiomalar tizimi bilan kiritiladi va boshqa hamma xossalar, tasdiqlar (teoremalar) ulardan foydalanib mantiqiy isbot qilinadi. Ayniyat qonuni, ziddiyat qonuni, uchinchi istisno qonuni mantiqiy Aksioma hisoblanadi. Aksiomaga misol sifatida Yevklid geometriyasining parallellik Aksiomasini keltirish mumkin: «Tekislikda a toʻgʻri chiziqqa tegishli boʻlmagan O nuqta orqali shu toʻgʻri chiziqqa bittadan ortiq parallel toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin emas». Arximed aksiomasi, Sermelo aksiomasi va boshqalar . Aksioma atamasi Yunonistonda paydo bo’lgan, birinchi marotaba Aristotel asarlarida ishlatilgan.
Mulohazalar algebrasini o‘rganganimizda bu asosan rostlik jadvali orqali ko‘pgina savollarga javob olgan edik. Mantiqning ba’zi qiyinroq masalalarini bu metod bilan xal qilish mumkin bo‘lmaganligi sababli, biz endi aksiomatik metodni qo‘llaymiz va aynan rost formulalar to‘plamini deduktiv sistema yordamida aniqlaymiz. Boshqacha aytganda, biz «dastlabki» aynan rost formulalar sifatida mulohazalar xisobi aksiomalarini aniqlaymiz va shu aksiomalardan xuddi shunday formulalarni keltirib chiqarish mumkin bo‘ladigan keltirib chiqarish qoidalarini ifodalaymiz. Bunday qoidalar mantiqa xizmat qilib, keltirib chiqarish jarayonini sof mexanik xisoblashlarga aylantirgani uchun ham mulohazalar mulohazalar xisobi atamasi paydo bo‘lgan.
Agar quyidagi shartlar bajarilsa , u holda formal (aksiomatik) nazariya aniqlangan hisoblanadi. Sanoqli simvollar to‘plami nazariyaning simvollari berilgan bo‘lsa nazariyaning chekli simvollari ketma-ketligining ifodasi deyiladi.
Agar formulalar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, har qanday uchun formula yoki aksioma bo‘lsa, yoki o‘zidan oldingi qandaydir formulalarning bevosita natijasi bo‘lsa, u holda berilgan formulalar ketma-ketligida keltirib chiqarish deyiladi.
Agarda keltirib chiqarish mavjud bo‘lib, bu keltirib chiqarishning oxirgi formulasi formulasi bilan ustma – ust tushsa u holda formula nazariyaning teoremasi deyiladi, bunday keltirib chiqarish formulaning keltirib chiqarishi deyiladi. (Berilgan nazariyaga nisbatan).
Xatto, effektiv aksiomalashtirilgan nazariyada ham teorema tushunchasi effektiv bo‘lishi shart emas, chunki umuman olganda berilgan formulani keltirib chiqarilishi mavjudligini aniqlovchi effektiv algoritm mavjud bo‘lmasligi ham mumkin.
Aksiomatik metod – aksiomalarga asoslanib ilmiy nazariya qurish usuli. Asos qilib olingan aksiomalar tizimi (aksiomatika) muayyan nazariy tizimda isbotsiz haqiqiy deb qabul qilinadi. Boshqa nazariy bilimlar, xulosalar toʻla ravishda aksiomatikadan deduktiv yoʻl bilan chiqariladi. Yangi tushunchalar nazariyaga formal ta’riflash yoʻli bilan kiritiladi. Aksiomalar tizimi ziddiyatsizlik, toʻlalik va bogʻliqsizlik shartlarini qanoatlantirishi lozim. Bitta ilmiy nazariyani turli aksiomalar tizimiga asoslanib ham qurish mumkin. Masalan, haqiqiy sonlar nazariyasining turli qurish usullari mavjud. Matematikada aksioma qadimgi yunon geometriklari asarlarida shakllana boshlagan. Evklidning "Negizlar" (mil. av. 300-yillar) asarida bayon etilgan 272 geometrik sistema aksioma bilan nazariya qurish namunasidir. XIX asr ikkinchi yarmidan matemetikaning turli sohalari aksioma bilan qurila boshlandi (turli geometriyalar, arifmetika, ehtimollar nazariyasi va boshqalar). Aksiomaning keyingi taraqqiyoti, mukammalashuvi D. Gilbert kiritgan formal sistema va formalizm metodi bilan bogʻliq. Qadimda fanlar, shu jumladan falsafaning turli bo’limlarini aksiomalar tarzida bayon qilishga urinib koʻrilgan (Nyuton, Spinoza, Forobiy va boshqalar).