``Grin formulasi va uning tadbiqlari ``

Birinchi tur egri chiziqli integrallarning ba’zi bir tatbiqlari

Birinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida yoy uzunligini,jismning massasini, og’irlik markazlarini topish mumkin.Quyida biz birinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida yoy uzunligini hisoblashni ko’rsatamiz.

^{Tekislikda sodda AB egri chiziq berilgan bo’lsin.Bu chiziqda f} ^{x, y}^{1 funksiyani qaraylik. Ravshanki, bu funksiya AB da uzluksiz. f} ^{x, y}^{funksiyaning birinchi tur} egri chiziqli integrali ta’rifidan quyidagini topamiz:

n1 n1
f x, y ds lim f _k , _k s_k lim s_k S. _AB ^p k0 ^p k0

Demak,

^{S }^{ds (*)} AB

Misol. Ushbu

_^{x x}^t^{acos3 t} _^{y y}^t^{asin3 t}

Sistema bilan berilgan AB chiziqning uzunligi topilsin.Bu chiziq astroidani

ifodalaydi.(*) formulaga ko’ra astroidaning uzunligi

13

 
_^{ds 4}_^{x'2 ty'2 tdt 4}_^{3acos2 tsint}2 ^^{3asin2 tcost}2 ^{dt }AB 0 0



^40

⁹₄2 sin² 2tdt 6a2 sin2t 6a_^cos2t _0 6a

Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifi

^{Tekislikda biror sodda AB egri chiziqni qaraylik.Bu egri chiziqda f} ^{x, y}

funksiya berilgan bo’lsin. AB egri chiziqning


0 1

n
^{P }^{A ,A,...,A} 


A A

k

Q

k k
^{bo’linishini va uning har bir} _{k k1} ^{k 0,1,...,n1}^{yoyida ixtiyoriy Q }^_k ^,_k ^nuqtani _k ^_k ^,_k ^{A A} _1^{,k 0,1,...,n1}^{olaylik. Berilgan funksiyaning}

Q

A


_k ^^_k ^,_k ^{nuqtadagi f} ^_k ^,_k ^qiymatini _{k k1}^{ning ox}^oy^{o’qdagi x}_k ^y_k proyeksiyasiga ko’paytirib quyidagi yig’indini tuzamiz:

n1 n1






' f _k , _k x_{k }'' f _k , _k y_{k }. k0 k0

(0.11)

Endi egri chiziqning shunday


1 2 m
^{P,P ,...,P ,...} (0.12)

bo’linishlari ketma-ketligini qaraymizki, ularning diametrlaridan tashkil topgan

mos


p p

p
,,...,,... 1 2 m

ketma-ketlik nolga intilsin:


p
0 m

14

bunday bo’linishlarga nisbatan (1.11) kabi yig’indilarni tuzib ushbu


'

1 2

1 2 m
^{',' ,...,}_m^,...^{'','' ,...,'' ,...}

^ketma-ketlikni hosil qilamiz.Ravshanki,bu ketma-ketlikning har bir hadi, xususan ^_k ^,_k ^{nuqtalarga ham bog’liq.}


P

'

''
1.4-ta’rif. Agar AB egri chiziqning har qanday (1.12) ko’rinishdagi ^{bo’linishlari ketm}_a^-ketligi _m^{olinganda ham, unga mos yig’indilardan iborat }_m^^_m^^{ketma-ketlik }_k ^,_k ^{nuqtalarning} ^_k ^,_k ^_{k k1}^{tanlab olinishiga bog’liq bo’lmag}_a^{n ravishda hamma vaqt bitta I'} ^I'' ^{songa intilsa, bu son '} ^'' 
yig’indining limiti deyiladi va

n1
lim ^' lim f _k , _k x_k I^{' p p} k1


n1
_i_0 ^'' _i_0 k1 f _k , _k y_k I^''

(0.13)

kabi belgilanadi.





p
1.5-ta’rif. Agar 0 da ^' ^'' yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, u holda
m

^f ^{x, y}^{funksiya AB egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi deyiladi.Bu limit f} ^{x, y}

funksiyaning AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi


 
va u

^{f x, y dx} AB
^^{f x, ydy}AB

kabi belgilanadi.Demak,







0
^f ^{x, y dx lim' lim} n1 ^f ^_k ^,_k ^x_{k AB} ^{p p} k0








0
^f ^{x, y dy lim'' lim} n1 ^f ^_k ^,_k ^y_{k AB} ^{p p} k0

15

^{Shunday qilib, AB egri chiziqda berilgan f} ^{x, y}^{funksiyadan ikkita ox o’qidagi}

proyeksiyalar vositasida va oy o’qidagi proyeksiyalar vositasida olingan ikkinchi

tur egri chiziqli integral tushunchalari kiritildi.

^{Faraz qilaylik, AB egri chiziqda ikkita P}^{x, y}^{va Q}^{x, y}<sup>fuksiyalar berilgan

bo’lib,</sup> ^{Px, y dx,} ^{Qx, y dy lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari} AB AB

bo’lsin. Ushbu

^{Px, y dx}^{Qx, y dy} AB AB

Yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi va


^{Px, y dxQx, ydy} AB

kabi yoziladi. Demak,

^{Px, y dxQx,ydy }^{Px,y dx}^{Qx,y dy} AB AB AB

Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi.