``Grin formulasi va uning tadbiqlari ``

Birinchi tur egri chiziqli integral ta’rifi


1
^{Tekislikda biror sodda AB} ^Aa₁ ^,a₂ ^R2^{,B b ,b}₂ ^R2 ^{egri chiziqni (yoyni)} olaylik.Bu ikki yo’nalishdan birini musbat yo’nalish, ikkinchisini manfiy
yo’nalish deb qabul qilaylik.

(1-chizma )

0 1 n k 0 1 n

A

0

1
^{A A,A,...,A B}^{A }^x_k ^{, y}_k ^{AB,k 0,1,...,n,A }^x₀^{, y}₀ ^^{a ,a}₂ ^{,A }^x_n^{, y}_n ^₁^, ₂ nuqtalar yordamida nta bo’lakka bo’lamiz. Bu A , A,..., _n nuqtalar sistemasi AB

yoyining bo’laklashi deb ataladi va u


0 1 n
^{P }^{A ,A,...,A} 

^{kabi belgilanadi.} _{k k1} ^{yoy ( bo’laklash yoylari) uzunliklari S}_k ^{k 0,1,2,...,n}^ning

eng kattasi P bo’laklash diametri deyiladi va u _p bilan belgilanadi:

^_p ^max^S_k

Ravshanki , AB egri chiziqni turli usullar bilan istalgan sonda bo’linishlarini tuzish

mumkin.

^{AB egri chiziqda f} ^{x, y}^{funksiya berilgan bo’lsin. Bu egri chiziqning}


0 1 n
^{P }^{A ,A,...,A} 

4

A

Q

A A

Q

Q

A
^{bo’linishini va uning har bir} _{k k1} ^{yoyida ixtiyoriy} _k ^^_k ^,_k _k ^^_k ^,_{k )} ^_{k k1}^{,k 0,1,2,...,n}^{nuqta olamiz.Berilgan funksiyaning} _k ^^_k ^,_k) ^{nuqtadagi f} ^_k ^,_k ^qiymatini _{k k1} ^{ning S}_k ^{uzunligiga ko’paytirib quyidagi}
yig’indini tuzamiz:

n1








 f _k , _k S_k k0

(0.1)

Endi AB egri chiziqning shunday


P

2

m
^{1,P ,...,P ,...,} (0.2)

bo’linishlari ketma-ketligini qaraymizki, ularning mos diametrlaridan tashkil

topgan


p p

p
,,...,,...,
1 2 m

Ketma-ketlik nolga intilsin: _pm 0 bunday bo’linishlarga nisbatan kabi

yig’indilarni tuzib, ushbu

₁,₂,...,_m,...,

^Q
ketma-ketlikni hosil qilamiz. Ravshanki bu ketma-ketlikning har bir hadi _k ^^_k ^,_k ^{nuqtalarga bog’liq.}


P
1.1-ta’rif. Agar AB egri chiziqning (1.2) ko’rinishdagi bo’linishlari ketma-^ketligi _m^{olinganda ham, unga mos yig’indilardan iborat} ^_m^ketma-ketlik ^_k ^,_k ^{tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta I soniga}
intilsa, bu son yig’indining limiti deb ataladi va

n1





k




lim lim f , S I
^{x0 x0} k0

(0.3)

kabi belgilanadi.

5

1.2-ta’rif. Agar0 son olinganda ham shunday 0 topilsaki, AB egri

chiziqning diametri _p bo’lgan har qanday P bo’linishi uchun tuzilgan

^{yig’indi ixtiyoriy} ^_k ^,_k ^_{k k1} ^nuqtalarda

I 

Tengsizlik bajarilsa, ^I son yig’indining ^_p ^0 dagi limiti deb ataladi va (1.3)

kabi belgilanadi.

1.3-ta’rif. Agar ^_p ^0 da ^yig’indi chekli limitga ega bo’lsa u holda ^f ^{x, y}^funksiya _{egri chiziqlar bo}^’_{yicha integrallanuvchi} ^deyiladi_. ^{Bu integral f} ^{x, y}
funksiyaning egri chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va



^{f x, y dS} AB

kabi belgilanadi.

Shunday qilib kiritilgan egri chiziqli integral tushunchasining o’ziga xosligi qaralayotgan ikki argumentli funksiyaning berilish sohasi tekislikdagi biror AB egri chiziq ekanligidir.

Uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integralining mavjudligi

Faraz qilaylik , AB egri chiziq ushbu

_^xx^s_^{y y}^s

_^{0 s S} _(0.4)

^{sistema bilan berilgan bo’lsin. Bunda s AQ yoyning uzunligi} ^{Q x, yAB}^{, S esa AB yoyning uzunligi. f} ^{x, y}^{funksiya shu AB egri chiziqda berilgan bo’lsin, mod}_o^{miki , x x}^s^{x x}^s^{, y y}^s^{0s S}^{ekan, unda} ^{x, y}^f ^x^s^{, y}^sbo’lib, natijada ushbu

^f ^x^s^{, y}^s^F^s^{0s S}

6

funksiyaga ega bo’lamiz.


0 1

n

A

Q

A

k



A
^{AB egri chiziqningP }^{A ,A,...,A}  ^{bo’linishini va har bir} _{k k1} ^{da ixtiyoriy} _k ^^_k ^,_k ^{nuqtani olaylik. Har bir} _k ^{nuqtaga mos keladigan A} _k ^ning uzunligi s_k , har bir AQ ning uzunligi s_k deylik. Ravshanki, _{k k1} ning uzunligi
s_k1 s_k s_k bo’ladi.

Natijada P bo’linishga nisbatan tuzilgan









n1
 f _k , _k s_k k0

yig’indi ushbu



n1 n1 n1
f _k , _k s_k  f x s_k , y s_k s_k  F s_k s_k k0 k0 k0

ko’rinishga keladi. Demak

n1




 F s_k s_k k0

(0.5)

^{Bu yig’indini} ^0,S^{oraliqdagi F} ^s^{funksiyaning integral yig’indisi} ekanligini payqash qiyin emas.

^{Agar f} ^{x, y}^{funksiya AB egri chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda F}^x^funksiya ^0,S^{da uzluksiz bo’ladi.Demak bu holda F} ^s^funksiya ^0,S^da integrallanuvchi:

ⁿ1 ^S


lim F s_k s_k F s ds ^p k0 _O

(0.6)

Shunday qilib,(1.5) va (1.6) munosabatlardan _p 0 da yig’indining limiti

mavjud bo’lishi va

7

^S



0
^{lim}^{F sds
p} O

ekanligini topamiz.Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.

^{1.1-teorema. Agar f} ^{x, y}^f_u^{nksiya AB egri chiziqda uzluksiz bo’lsa , u holda}

bu funksiyaning AB egri chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integrali

mavjud bo’ladi va


S




_^f ^{x, y ds }_^f ^x^s^{, y}^s^ds AB 0

bo’ladi.

Bu teorema bir tomondan uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integralining mavjudligini aniqlab bersa , ikkinchi tomondan bu integralning aniq integralga(Riman integraliga) kelishini ko’rsatadi.