``Grin formulasi va uning tadbiqlari ``

1.3-natija. Ikkinchi tur egri chiziqli integral egri chiziqning yo’nalishiga

bog’liq bo’ladi.

^{1.4-natija. AB egri chiziq ox} ^oy^{o’qiga perpendikular bo’lgan to’g’ri chiziq kesmasidan iborat bo’lsin. f} ^{x, y}^{funksiya shu chiziqda berilgan bo’lsin.}


 
U holda

^{f x, y dx} AB
^^{fx,ydy}AB

mavjud bo’ladi va

16







^{f x, y dx 0} AB
^^{f x, ydy 0.} AB

Bu tenglik bevosita ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan kelib chiqadi.

Endi AB -sodda yopiq egri chiziq bo’lsin, ya’ni A va B nuqtalar ustma-ust tushsin.Bu yopiq chiziqni K deb belgilaylik.Bu sodda yopiq chiziqda ham ikki yo’nalish bo’ladi. Ularning birini musbat yo’nalish, ikkinchisini manfiy yo’nalish deb qabul qilaylik.Shunday yo’nalishni musbat deb qabul qilamizki, kuzatuvchi yopiq chiziq bo’ylab harakat qilganda,

(2-chizma)

yopiq chiziq bilan chegaralangan soha unga nisbatan doim chap tomonda yotsin. ^{Faraz qilaylik, K sodda yopiq chiziqda f} ^{x, y}^{funksiya berilgan bo’lsin.Bu K} chiziqda ixtiyoriy ikkita turli nuqtalarni olib, ularni A va B bilan belgilaylik. AaBva
BbAchiziqlarga ajraladi (2-chizma).

Ushbu

^{f x, y dx}^{f x, y dx} AaB BbA

^{Integral (agar mavjud bo’lsa ) f} ^{x, y}^{funksiyaning K yopiq chiziq bo’yicha}

ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va

17




^{f x, y dx yoki} K
^{f x, y dx} K

kabi belgilanadi.Bunda K yopiq chiziqning musbat yo’nalishi olingan.Shunga

o’xshash



^{f x, y dy} K

hamda umumiy holda


^{Px, y dxQx, ydy} K

integrallar ta’rifilanadi.

^{AB fazoviy egri chiziq bo’lib}_,^{bu chiziqda f} ^{x, y,z}^{funksiya berilgan bo’lsin.Yuqoridagidek, f} ^{x, y,z}^{funksiyaning AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur} egri chiziqli integrallari ta’riflanadi va ular

^{f x, y,z dx,} AB
^{f x, y,z dy,} AB
^{f x,y,z dz} AB

^{kabi belgilanadi. Um}_u^m_i^{y holda AB da P}^{x, y,z}^,Q^{x, y,z}^,R^{x, y,z}^funksiyalar

berilgan bo’lib, ushbu

^{Px, y,z dx,} ^{Qx, y,z dy,} ^{Rx, y,z dz} AB AB AB

Integrallar mavjud bo’lsa , u holda

^{Px, y,z dx}^{Qx, y,z dy}^{Rx, y,z dz} AB AB AB

Yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi va u


^{Px, y,z dxQx, y,zdyRx, y,zdz} AB

18

kabi belgilanadi.Demak,

^{Px, y,z dxQx, y,zdyRx, y,zdz }^{Px, y,z dx}^{Qx, y,z dy}^{Rx, y,z dz.} AB AB AB AB

Uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integrali

Endi ikkinchi tur egri chiziqli integralning mavjud bo’lishi taminlaydigan shartni

topish bilan shug’ullanamiz.

Faraz qilaylik AB egri chiziq ushbu

_^x^t_^{y }^t

_^{t } _(0.14)

^{Sistema bilan (parametric formada )berilgan bo’lsin.Bunda}^t^funksiya ^,^{da '} ^t^{hosilaga ega va bu hosila shu oraliqda uzluksiz, }^t^{funksiya ham} ^,^{da uzluksiz hamda} ^^^,^^{A va} ^^^,^<sup>Bbo’lsin.

t paramer dan ga o’zgarganda</sup> ^{x, y}^^^t^,^t^{nuqta AdanB ga qarabAB ni} chiza borsin.

^{1.3-teorema. Agar f} ^{x, y}^{funksiya AB da berilgan va uzluksiz bo’lsa, u}

holda bu funksiya AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali

^{f x, ydx} AB

mavjud va





^{f x, ydx }^{f t,t}' ^tdt AB 

bo’ladi.

^Isboti. ^,^oraliqning
19


^{P t}₀^,t₁^,...,t_n^t₀ ^t₁ ^...t_n ^


A

A
^{bo’linishni olaylik. Bu bo’linishning bo’luvchi nuqtalari t}_k ^{k 0,1,...,n}^{ning AB dagi mos akslarini} _k ^deylik ^{k 0,1,...,n}^{.Ravshanki, bu} _k ^{nuqtalar AB egri} chiziqning


A

0 1
^{A ,A,...,} _n


^{A
bo’linishini hosil qiladi. Bundan} _k ^^^t_k ^,^t_k ^{k 0,1,...,n}^bo’ladi.

Bu bo’linishga nisbatan (1.11) yig’indini








n1
^'  f _k , _k x_k k0

^{tuzamiz. Keyingi tenglikda x}_k ^x_k1 ^x_k ^^t_k1^^t_k ^{ga tengdir.Lagranj}

teoremasidan foydalanib topamiz:

^^t_k1 ^^t_k ^' ^_k ^t_k₁ ^t_k ^' ^_k ^t_k ^_k ^^t_k ^,t_k₁


^k k

k

k
^{Ma’lumki ,}^_k ^,_k ^{A A} _1 ^, ^{k 0,1,2,...,n1}^{.Agar bu} ^_k ^,_k ^{nuqtaga akslantiruvchi nuqtani r} ^{r }^t_k ^,t_k1^{deyilsa, unda}


r

r
^_k ^_k ^{, }_k ^_k 

bo’ladi. Natijada, ^' yig’indi quyidagi ko’rinishga keladi





r

r
^{' }n1 ^f ^_k ^,_k ^' ^_k ^t_k k0


^{'
endi }_p ^max^t_k^{0da ' yig’indining limitini topish maqsadida uning ifodasini}

o’zgartirib quyidagicha yozamiz:

r

r
^{' }n1 ^f ^_k ^,_k ^' ^_k ^t_k ^n1 ^f ^_k ^,_k ^' ^_k ^' _k ^t_k k0 k0

20
Bu tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi baholaymiz:

r

r
n1 ^f ^_k ^,_k ^' ^_k ^' _k ^t_k ^k0


r

r

k
^n1 ^f ^^r ^,_k ^' ^_k ^' _k ^t_k ^k0



n1
M ^' _k ^' _k t_k k0

^{bunda M max}_{t}^f ^^t^,^t


^'
' ^t^funksiya ^,^{da uzluksiz. U holda Kantor teoremasining natijasiga ko’ra, 0olinganda ham shunday 0topiladiki,} ^,^{oraliqning diametri }_p ^
bo’lgan harqanday P bo’linish uchun


r
^' ^_k ^' _k ^_{M }

bo’ladi. Unda

r

r





k
n1 ^f ^_k ^,_k ^' ^_k ^' ^r ^t_k ^k0





n1 n1

M
M t_k  t_k k0 k0

demak,

r

r


^lim n1 ^f ^_k ^,_k ^' ^_k ^' ^r ^t_k ^{0 p} k0

bo’ladi. Bu munosabatni hisobga olib, _p 0 limitga o’tib quyidagini topamiz:

^





r

r

k





0
^lim' ^lim n1 ^{f k ,k }_^' ^{r tk }^{f t,t}' ^{tdt
p p k0} 

21
demak,





d
^{f x, yx }^{f t,t}' ^tdt. AB 

teorema isbotlandi.