Teorema. Agar f(x)funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. Demak, ushbu limit mavjud va f’(x) ga teng. Bizga agar funksiya chekli limitga ega bo‘lsa, uni limit va cheksiz kichik yig‘indisi ko‘rinishda ifodalash mumkinligi ma’lum ( ). Bizning holimizda limitga ega bo‘lgan funksiya deb funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatini olamiz. U holda ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi:
=f’(x)+, bu erda =(x) va =0. Bundan funksiya orttirmasi y=f(x+x)-f(x) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkinligi kelib chiqadi:
y=f’(x)x+x (1)
Bu tenglikdan, agar x0 bo‘lsa, u holda y0 bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x)funksiyaning x nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni funksiyaning nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada hosilasi mavjudligi kelib chiqavermaydi. Masalan, y=|x| funksiya x ning barcha qiymatlarida, xususan x=0 nuqtada uzluksiz, ammo x=0 nuqtada hosilaga ega emas. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi y=|x| bo‘lib, undan va nisbatning x0 dagi limiti mavjud emasligi kelib chiqadi, demak f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas.
Bir tomonli hosilalar Ta’rif. Agar x+0 (x-0) da nisbatning limiti
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi o‘ng (chap) hosilasi deb ataladi va f’(x0+0) (f’(x0-0)) kabi belgilanadi.
Odatda funksiyaning o‘ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ataladi.
Yuqoridagi misoldan, f(x)=|x| funksiyaning x=0 nuqtadagi o‘ng hosilasi 1 ga, chap hosilasi - 1 ga tengligi kelib chiqadi.
Funksiyaning hosilasi ta’rifi va bir tomonli hosila ta’riflardan hamda funksiya limiti mavjudligining zaruriy va yyetarli shartidan quyidagi teoremaning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
