Hosila va uning tatbiqlari. Reja

Murakkab funksiyani hosilasi
va bo‘lsin. U holda funksiya erkli argumenti
dan va oraliq argumenti dan iborat murakkab funksiya bo‘ladi.
2-teorema
.Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo‘lsa va funksiya mos nuqtada hosilaga ega 
bo‘lsa, u holda murakkab funksiya nuqtada differensiallanuvchi va
bo‘ladi.
Isboti.
funksiyanuqtadadifferensiallanuvchibo‘lganiuchun
bo‘ladi. Bundan .
funksiya nuqtada hosilaga ega. Shu sababli funksiya

---

nuqtada uzluksiz va da .
U holda
Bundan yoki
.
Shunday qilib,, ya’ni 
murakkab funksiyaning hosilasi berilgan funksiyaning oraliq argument 
bo‘yicha hosilasi bilan oraliq argumentning erkli argument bo‘yicha hosilasining ko‘paytmasiga 
teng
.
Bu qoida oraliq argumentlar bir nechta bo‘lganda ham o‘z kuchida qoladi.
Masalan, bo‘lsa, bo‘ladi. 
Parametrik va oshkormas ko‘rinishda berilgan 
funksiyalarni differensiyallash
intervalda o’zgaruvchining va funksiyalari biror intervalda aniqlangan bo‘lib, bu intervalda , 
hosilalar va funksiyaga teskari funksiya mavjud bo‘lsin. Agar funksiya qat’iy monoton bo‘lsa, 
teskari funksiya bir qiymatli, uzluksiz va qat’iy monoton bo‘ladi. Shu sababli murakkab funksiya 
mavjud bo‘ladi. Bunda funksiya va tenglamalar bilan 
parametrik ko’rinishda
( parametrli) 
berilgan deyiladi.
funksiya
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin. U holda teskari funksiya mavjud va uning hosilasi 
. Shuningdek murakkab funksiya hosilasi bo‘ladi.
Bundan
yoki . (1)
Misol.
funksiya uchun ni topamiz:
Agar funksiya ga nisbatan yechilmagan, ya’ni ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, funksiya 
oshkormas 
ko’rinishda
berilgan deyiladi.
Oshkor berilgan har qanday funksiyani oshkormas ko‘rinishda kabi yozish mumkin, ammo 
teskarisini hamma vaqt bajarib bo‘lmaydi, tenglamani ga nisbatan yechish hamma vaqt ham oson 
emas, ayrim hollarda esa umuman mumkin emas.

---

Funksiyaoshkormas ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, funksiya ning murakkab funksiyasi deb qaraladi 
va tenglikning chap va o‘ng tomoni
bo‘yicha differensiyalanadi, so‘ngra hosil bo’lgan tenglamadan topiladi.
Misol.
funksiya uchunni topamiz. Bunda tenglikning har ikkala tomonini bo’yicha 
differensiallaymiz:
.
Bundan 
,
yoki