I. Qatorlar haqida tushunchalar 1 Sonli qatorlar

2.1.5-ta'rif:
Agar (2.1.1) qatorning qismiy yig'indisi chekli limitga ega ya'ni

bo'lsa, qator yaqinlashuvchi, S soni qatorning yig'indisi deyiladi quyidagicha yoziladi

Agar qatorning qismiy yig'indisi chekli limitga ega bo'lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi. Agar bu limit cheksiz bo'lsa quyidagicha yoziladi

Ikki karrali qatorlarning xossalarini ko’rib o’taylik:
2.1.1-xossa:
Agar

qator yaqinlashuvchi va uning yig'indisi S bo'lsa u holda

bu yerda .
2.1.2-xossa:
Agar

bo'lsa, u holda
bo'ladi.


2.1.1-teorema:
Agar (2.1.1) qator yaqinlashuvchi bo'lsa u holda bo'ladi.
2.1.2-teorema:
Agar (2.1.1) qatorning barcha hadlari nomanfiy ya'ni bo'lsa u holda qismiy yig'indilarining chekli yoki cheksiz limiti mavjud ya'ni bo'ladi.
Isbot:
ixtiyoriy uchun bajarilsin, u holda bo'lganda Agar bo'lsin, u holda aniq yuqori chegara ta'rifiga ko'ra shunday mavjudki, bo'ladi .
, u holda lar uchun va bo'lganligi uchun bo'ladi.
2.2.1-natija: Teorema shartlari bajarilganda (2.1.1) qator yaqinlashuvchi bo'lishi uchun uning qismiy yig'indilari chegaralangan bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot: (zaruriyligi)
ixtiyoriy shart bajariladi, u holda teoremaga ko'ra va
chegaralangan, ya'ni shunday uchun ixtiyoriy .
Demak, u holda (2.1.1)
qator yaqinlashuvchi.
Yetarliligi
(2.1.1) ikki karrali qatorni qatorni ikkita takroriy qator orqali ifodalash mumkin. Ya'ni dastlab bir indeks bo'yicha yig'indi hisoblab, so'ngra ikkinchi indeks bo'yicha yig'indini hisoblaymiz.
2.1.3-teorema:
Agar (2.1.1) qator yaqinlashuvchi va barcha n=1,2,3,... larda qator yaqinlashuvchi bo'lsa u holda takroriy qator yaqinlashuvchi bo'ladi va uning yig'indisi (2.1.1) qatorning yig'indisiga teng.
2.1.6-ta'rif:
(2.1.1) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan
(2.1.2)
qator yaqinlashuvchi bo'lsa, (2.1.1) qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
2.1.4-teorema:
Agar (2.1.1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda uning hadlaridan tuzilgan ixtiyoriy oddiy ikki karrali yoki takroriy qator yaqinlashuvchi bo'ladi. Hosil qilingan qatorning yig'indisi dastlabki (2.1.1) qator yig'indisiga teng bo'ladi.
Isbot:
(2.1.1) qatorning hadlarini cheksiz to'rtburchak matrissaga joylashtirib chiqamiz. m-qatorga (2.1.1) qatorning dastlabki indeksi m bo'lgan hadlarini ikkinchi indeksning o'sishi bo'yicha joylashtiramiz.

Bu jadvalning elementlarini quyidagi sxemada ko'rsatilgan tartibda nomerlaymiz


u holda (2.1.1) qatorning hadlaridan tuzilgan oddiy (2.1.3) sonli qator hosil bo'ladi. Bu qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligini, ya'ni
(2.1.4)
qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ko'rsatamiz.
(2.1.1) qatorning qismiy yig'indisini bilan, yig'indisini esa v* bilan belgilaymiz.(2.1.1) qatorning qismiy yig'indisini bilan belgilaymiz.
Ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, o'rinli bo'ladi. U holda (2.1.4) qator yaqinlashuvchi.
Quyidagicha belgilash kiritamiz . Endi (2.1.1) qator hadlaridan tuzilgan ixtiyoriy (2.1.5) qatorning absalyut yaqinlashuvchi va uning yig'indisi S ga teng ekanligini ko'rsatamiz.
(2.1.5) qatorning absolyut yaqinlashuvchanligi (2.1.1) qatorning absolyut yaqinlashuvchanligidan kelib chiqadi.
(2.1.5) qatorning yig'indisi S ga teng bo'lishini ko'rsatamiz. Uning qismiy yig'indisini bilan, (2.1.3) qatorning qismiy yig'indisini bilan belgilaymiz. Tayin musbat son olaylik. (2.1.4) qatorning yaqinlashuvchanligidan shunday son topiladiki.
(2.1.6) u holda
(2.1.7)
Shunday son topamizki (2.1.5) qatorning qismiy yig'indisi (2.1.3) qatorning yig'indiga kiruvchi barcha hadlarini o'z ichiga oladigan bo'lsin.
olsak, u holda
.
Demak, S (2.1.5) qatorning yig'indisi xususan (2.1.1) qatorning ham.
Endi S soni takroriy qatorning yig'indisi ekanligini ko'rsatamiz.
Ixtiyoriy tayinlangan n uchun
.
Natijada, barcha sonli qator absolyut yaqinlashuvchi.
(2.1.8) belgilash kiritamiz.
Ixtiyoriy musbat son olamiz. (2.1.6) shartni qanoatlantiruvchi son tanlaymiz.
U holda ixtiyoriy uchun
.
da bu tengsizlik quyidagicha bo'ladi:
(2.1.7) ga ko’ra ixtiyoriy uchun quyidagi tengsizlik o’rinli.
,
Demak,

teorema isbotlandi.
2.2 Karrali qatorlarning yaqinlashish to’plamlari.


Quyidagi ikki o'zgaruvchili darajali qatorni qaraylik.
(2.2.1)


2.2.1-teorema:
Agar (2.2.1) qator nuqtada yaqinlashuvchi va
(2.2.2)
, (2.2.3.)

bo'lsa, u holda (2.2.1) qator to'g'ri to'rtburchakda absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi.
to'plamdan tashqarida qator uzoqlashuvchi bo'lishi mumkin.
Isbot. Agar yoki bo'lsa teorema o'rinli. Bu holatda E to'plam faqatgina nuqtadan iborat bo'lib qoladi, teorema shartiga ko'ra qator yaqinlashuvchi.
holatni qarash yetarli. Bu holda . (2.2.1) qatorning nuqtada yaqinlashuvchanligidan qator umumiy hadining bu nuqtadagi qiymati nolga intiladi, ya'ni .
Natijada, shunday va natural sonlar topiladiki, barcha va sonlar uchun
(2.2.4)
tengsizlik o'rinli bo'ladi.
(2.2.5) shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta olamiz.
va tengsizliklar o'rinli bo'lganligi uchun

qatorlar yaqinlashuvchi, shuning uchun

shartlarni qanoatlantiruvchi va sonlar topiladi.
Oxirgi tengsizlikdan va (2.2.4) tengsizlikdan kelib chiqadi, bu yerda .
(2.2.1) qatorning barcha hadlari chegaralangan qator yaqinlashuvchi, u holda shunday va natural sonlar topiladiki, barcha sonlar uchun
(2.2.7)
tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Shuning uchun

xususan, va uchun
(2.2.8)
Bundan va (2.2.6) tenglikdan o'rinli bo'lishi kelib chiqadi.
tenglik o'rinli bo'ladigan eng kichik indeks bo'lsin. qatorni ng yaqinlashuvchanligidan bu qatorning xususiy yig'indilari ketma-ketligi

teng chekli limitga ega bo'ladi. Shuning uchun , ya'ni
(2.2.9)
ketma-ketlik shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik bo'lsin. deb hisoblash mumkin, (2.2.6) tenglikdan bo'lishi kelib chiqadi.
(2.2.9) da mos ravishda deyilsa, u holda
(2.2.10)
uchun (2.2.6) tengsizlik bajariladi, ya'ni , shuning uchun , va .
Natijada
(2.2.11)
(2.2.10) va (2.2.11) munosabatlardan lar uchun
(2.2.12)
munosabat bajariladi.
Quyidagicha belgilashlarni kiritamiz:

(2.2.12) munosabatni yangi belgilashga ko'ra quyidagicha yozamiz:
(2.2.12*)
Endi, bo'lishini isbotlaymiz.
.
lar uchun tengsizlik o'rinli, u holda

shuning uchun
bo'lganligi uchun
(2.2.13)
munosabat o'rinli bo'ladi.
(2.2.7) tengsizlikni qo'llab, quyidagiga ega bo'lamiz:
.
(2.2.6) tengsizlikdan foydalansak:
,
hamda . Bundan
(2.2.14)
uchun (2.2.12), (2.2.13), (2.2.14) munosabatlardan

bo'lishi kelib chiqadi.
Oxirgi munosabatdan tayin darajali polinomlar ketma-ketligi nuqtalarda nolga intiladi. Bundan polinomlar ketma-ketligi koefisentlari nolga intiladi, ya'ni xususan .
Oxirgi munosabatdagi ziddiyatdan lemma isboti kelib chiqadi.
2.2.1-lemma: Agar (2.2.1) qator

ketma-ketlikning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo'lsa va ketma-ketlik
a) , b) , c)
shartlardan birortasini qanoatlantirsa, u holda agar , yoki bo'lsa, , agar bo'lsa.
2.2.2-teorema: Agar (2.2.1) qator

ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda bu qator
to'plam absolyut yaqinlashuvchi, to'plam tashqarisidagi ixtiyoriy nuqtada qator uzoqlashuvchi bo'ladi.
Isboti: (2.2.1) va (2.2.2) lemmalardan va bo'lishi kelib chiqadi. U holda (2.2.1)-teoremaga ko'ra qator to'rtburchakda absolyut yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi. Bu yerda, . u holda . Xuddi shu kabi . Qatorning E to'plamda yaqinlashuvchi bo'lishidan, uning to'plamda absolyut yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi.
Faqatgina qatorning ixtiyoriy tayinlangan nuqtada uzoqlashuvchi bo'lishi mumkinligini isbotlash qoldi. u holda yoki . Aniqlik uchun bo'lsin, u holda shunday m son mavjudki barcha lar uchun munosabat o'rinli.

bo'lsin.
(2.2.1) qatorning koefisentlari quyidagicha aniqlangan bo'lsin :

q>m bo'lganda quyidagiga erishamiz:
.
Bu tenglikdan qator bo'lganda bo'lganda bo'lganligi uchunn ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi. Ammo bu qator va bo'ladigan nuqtada uzoqlashuvchi bo'ladi, teorema isbotlandi.
2.2.1-natija: Agar (2.2.1) qator biror ochiq G to'plamda yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda u bu to'plamda absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi.
2.2.3-teorema: Agar (2.2.1) qator ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda bu qator to'rtburchakda absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi.
Qator to'plam tashqarisida uzoqlashuvchi bo'lishi mumkin.
2.2.1-misol: bo'lsin, (2.2.1) qator koefisentlari quyidagicha aniqlangan bo'lsin:

p>m bo'lganda:
.
Bu qator bo'lganda bo'lganda shartni qanoatlantiruvchi sonlardan tuzilgan , ketma-ketlikning barcha nuqtalarida yaqinlashuvchi bo'ladi.
va
shartni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarda qator yaqinlashuvchi.