Kirish. I. Bob. Chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechish metod va usullari

1.2.Chiziqsiz tenglamalar sistemasini nyuton metodi orqali yechish.
Faraz qilamiz boshlang‘ich yaqinlashish x₀ ma’lum bo‘lsin. f(x) funksiyani Teylor qatorining kesmasi bilan almashtiramiz.
f(x) H₁(x) = f(x₀) +f (x₀)(x-x₀)
va keyingi yaqinlashish sifatida H₁(x) = 0 tenglama ildizini olamiz, ya’ni

qilib olamiz.
Umuman, agar x_k yaqinlashish ma’lum bo‘lsa, Nyuton metodi bo‘yicha x_{k+1 yaqinlashishi}
(7)
kabi aniqlanadi.
Nyuton metodi, boshqacha yana urinmalar metodi ham deb aytiladi, chunki x_k+1 nuqta f(x) funksiya grafigining (x_k,f(x_k)) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasidir. Bu metodning yaqinlashishi keyinroq ko‘rsatiladi. Hozir bu metodning o‘ziga xos xususiyatlarini bayon etamiz.
Birinchidan metod kvadratik yaqinlashishga ega, ya’ni keyingi qadamdagi yaqilashish xatoligi oldingi qadamdagi xatolikning kvadratiga proporsional:
x_k+1 - x_* = O((x_k - x_*)²).
Ikkinchidan metodning bunday yaqinlashishiga, boshlang‘ich yaqinlashishning ildizga etarlicha yaqin bo‘lgandagina kafolat bersa bo‘ladi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish noqulay tanlangan bo‘lsa, metod yo sekin yaqinlashadi, yo umuman yaqinlashmasligi mumkin.


3)O‘zgartirilgan Nyuton metodi.
Agar f(x) hosilaning qiymatini ko‘p marta hisoblashdan qutilmoqchi bo‘lsalar, unda
(8)
formuladan foydalanadilar.
Bu metod boshlang‘ich yaqinlashishga uncha ko‘p talab qo‘ymaydi, lekin u sekin, faqat birinchi tartibli yaqinlashadi. (10) – metod bo‘lganda nolga bo‘lish sodir bo‘lmasligiga kafolat beradi.

4)Kesuvchilar metodi

Bu metod Nyuton metodidan f '(x_k) ni

chekli ayirma bilan almashtirishdan hosil bo‘ladi.
Natijada
(9)
ikki qadamli iteratsion metod hosil bo‘ladi. (9) - metodda oldin ikkita boshlang‘ich x₀ , x₁ yaqinlashishlarni berishga to‘g‘ri keladi. Bu metodning geometrik talqini quyidagidan iborat: (x_k-1,x_k) oraliqda y=f(x) funksiya grafigi (x_k-1 , f(x_k-1)) va (x_k, f(x_k)) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bilan almashtirilib uning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasi keyingi yaqinlashish sifatida olinadi.