Koshi tengsizligi va uning tadbiqlari

KOSHI TENGSIZLIGI ISBOTINING BIRINCHI USULI
sonlardan birortasi nolga teng bo’lsa, Koshi tengsizligi bajarilishi ma’lum. Shuning uchun deb hisoblaymiz. Ushbu

belgilardan so’ng quyidagi tasdiqni isbotlash yetarli bo’ladi:
shartni qanoatlantiruvchi
sonlar uchun
(6)
bo’ladi va tenglik faqat

bo’lganda bajariladi.
Oxirgi tasdiqni matematik induksiya usulida isbotlaymiz.
bajarilishini yuqorida ko’rsatilib o’tildi.
da to’g’ri deb olib, bo’lganda ham to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Ushbu

tenglikni chap tomonidagi ko’paytichuvlar orasida shunday ikkitasi topiladiki, birinchisi 1 dan katta bo’lmaydi, ikkinchisi esa 1dan kichik bo’lmaydi. Agar bu fikr bajarilmasa, (7) tenglik ham bajarilmasligi ravshan. Qulayligi uchun deb olamiz.
U holda

bo’ladi. Ushbu

ta son ko’paytmasi 1 ga teng bo’lgani uchun induksiya faraziga ko’ra

tengsizli o’rinli bo’ladi. (8) va (9) dan quyidagi baholash kelib chiqadi:

Keltirilgan tasdiqni qismi isbotlandi.
Agar (6) tengsizlikda tenglik bajarilib, sonlar orasida 1 dan farqlisi bo’lsa, bu sonlar ko’paytmasi 1 bo’lgani uchun shunday ikkitasi topiladiki ( aytayli ),



ziddiyat kelib chiqdi. Demak shartni qanoatlantiruvchi
sonlar uchun
(6)
Belgilashimizga qaytsak :

tengsizlik o’rinli ekani kelib chiqadi.
KOSHI TENGSIZLIGI ISBOTINING IKKINCHI USULI
sonlardan birortasi nolga teng bo’lsa, Koshi tengsizligi bajarilishi ravshan. Shuning uchun deb hisoblaymiz. Ushbu

belgilashlardan so’ng quyidagi tasdiqni isbotlash yetarli bo’ladi:
shartni qanoatlantiruvchi sonlar uchun
bo’ladi va tenglik faqat bo’lganda bajariladi.
Bu fikrni matematik induksiya usulida isbotlaymiz:
bo’lganda bajarilishini avvalroq ko’rsatgan edik.
da to’gri deb olib, bo’lganda ham to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.
Ushbu

tenglikning chap tomonidagi qo’shiluvchilari orasida shunday ikkitasi topiladiki, birinchisi 1 dan kichik bo’lmaydi va ikkinchisi 1 dan kichik bo’lmaydi. Agar fikr bajarilmasa, (11) tengli ham bajarilmasligi ma’lum. Qulayligi uchun deb olamiz. U holda

bo’ladi. Ushbu

ta son yig’indisi ga teng bo’lgani uchun induksiya faraziga ko’ra

tengsizlik o’rinli bo’ladi. (12) va (13) tengsizliklardan quyidagi baholash kelib chiqadi:

Keltirilgan tasdiqning birinchi qismi isbotlandi.
Agar (10) tengsizlikda tenglik bajarilib, sonlar orasida birdan farqlisi bo’lsa, bu sonlar yig’indisi bo’lgani uchun shunday ikkitasi tpiladiki ( aytaylik ), bo’ladi.
Bundan


ziddyat kelib chiqadi.
Demak farazimiz to’gri ekan. Bu farazimizdan

tengsizlik kelib chaqadi.