Koshi tengsizligi va uning tadbiqlari

KOSHI TENGSIZLIGI ISBOTINING UCHUNCHI USULI.
Avval bo’lganda ushbu

tengsizlik bajarilishini isbot qilamiz. Bu yerda tenglik faqat bo’lganda bajariladi. Buning uchun (14) tengsizlikni

ko’rinishida yozib olib, chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratamiz:
chunki . Bu tengsizlikda tenglik bajarilishi uchun
bo’lishi kerak.
(14) tengsizlikda , desak,
,


,

kelib chiqadi. (15) tengsizlik bo’lganda xam bajariladi. (15) tengsizlikda tenglik faqat bo’lganda bajariladi.
Endi esa Koshi tengsizligini matematik induksiya usulida isbotlashga o’tamiz. da bajarilishi ma’lum. da to’g’ri deb olib,
bo’lganda xam to’g’riligini ko’rsatamiz.
(15) tengsizlik va induksiya faraziga asosan

bo’lishi kelib chiqadi.
Koshi tengsizligida tenglik bajarilib, sonlar orasida bir-biriga teng bo’lmaganlari bor deb faraz qilaylik. U holda sonlardan kamida bittasi qolganlarining o’rta arifmatigiga teng bo’lmaydi. Qulayligi uchun

deb hisoblaymiz. U holda (15) tengsizlikka asosan

ziddiyat kelib chiqadi. Isbot tugadi.
Izoh: (14) tengsizlikda desak,
tengsizlik hosil bo’ladi.
Bu tengsizlikda tenglik faqat bo’lganda bajariladi .
Ohirgi tengsizlikka Bernulli tengsizligi deyiladi.(Yokob Bernulli (1654-1705) Shvetsiariyalik olim).

KOSHI TENGSIZLIGI ISBOTINING TO’RTINCHI USULI.

Matematik induksiya usulida isbotlaymiz.

da to’g’riligi ma’lum. da to’g’ri deb olib, bo’lganda ham to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Qulayligi uchun

deb hisoblaymiz. Ushbu

belgilashni kiritib olamiz. U holda


bo’ladi. Bernulli tengsizligidan

kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikni ushbu

tarzda yozish mumkin. Induksiya faraziga ko’ra

bo’ladi.
Demak

o'rinli ekan. Bundan esa

tengsizlik o'rinli ekani kelib chiqadi.
Isbot tugadi.