Koshi tengsizligi va uning tadbiqlari

YENSEN TENGSIZLIGI

Aslida Koshi tengsizligi funksiya qavariqligining sodda natijasidir. Umumiy holda, ya’ni ixtiyoriy qavariq yoki botiq funksiya bo’lgan holda Koshi tangsizligiga o’xshash tengsizliklarni isbot qilish mumkin. Agar funksiya uchun

tengsizlik ixtiyoriy
sonlarda o’rinli bo’lsa, funksiya oraliqda qavariq deyiladi. Agar funksiya uchun

tengsizlik ixtiyoriy
sonlarda o’rinli bo’lsa, funksiya oraliqda botiq deyiladi.
Teorema: a) Agar bo’lsa ixtiyoriy va
tenglikni qanoatlantiruvchi sonlari uchun ushbu

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
b) Agar bo’lsa ixtiyoriy va
tenglikni qanoatlantiruvchi sonlari uchun ushbu

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot. a) Avvalo ixtiyoriy va uchun ushbu

tengsizlik bajarilishini ko’rsatamiz. Buning uchun

funknsiyaning oraliqda eng katta qiymatini topamiz.

bo’lgani uchun kamayuvchi. ekanligidan ning ishorasi nuqtadan o’tishda musbatdan manfiyga o’zgarishi kelib chiqadi. nuqtadan boshqa nuqtada nolga aylanmasligidan
funksiya nuqtada o’zining eng katta qiymatini qabul qilishi kelib chiqadi. Demak, bo’ladi, ya’ni (39) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
(39) tengsizlikda tenglik faqat bo’lganda bajariladi. ixtiyoriy nuqtalar bo’lsin. Agar bo’lsa, bo’ladi. (39) tengsizlikka ko’ra
bo’ladi.
Teorema isbot bo’ldi.
ixtiyoriy sonlar bo’lsin.
(37) va (38) tengsizliklarda

deymiz. U holda (37) va (38) tengsizliklar mos ravishda quyidagi ko’rinish oladi:


(37), (38), (40) va (41) tengsizliklarga YENSEN tengsizliklari deyiladi.
( Iogan Lyudvig Yensen (1859-1925) daniyalik matematik).


YENSEN tengsizliklarida funksiyani turli xil qilib tanlash hisobiga ajoyib tengsizliklarni olish mumkin. Masalan,
1) bo’lsa,

boladi, bu yerda
2) bo’lsa,

bo’ladi, bu yerda
3) bo’lsa,

bo’ladi, bu yerda va .
4) bo’lsa,

bo’ladi, bu yerda .
5) bo’lsa,

bo’ladi, bu yerda
6) bo’lsa,

bo’ladi. Bu tengsizlikda

desak,

Koshi-Bunyokovskiy tengsizligi kelib chiqadi.
7) , bo’lsa,
bo’ladi. Bu tengsizlikda

desak,


Gyo’lder tengsizligi kelib chiqadi.

MASALA YECHISH NAMUNALARI.

1-Misol. Perimetri bo’lgan uchburchaklar orasida yuzasi eng katta bo’lgan uchburchakni topish so’ralsin.

Yechish: Buning uchun Geron formulasi va Koshi tengsizligidan foydalanamiz:

Demak, perimetri bo’lgan ixtiyoriy uchburchakning yuzasi
dan oshmaydi. ga faqat ya’ni bo’lganda teng bo’ladi. Bu esa, bir xil perimetrli uchburchaklar orasida yuzasi eng katta bo’ladigan teng tomonli uchburchak bo’lishini bildiradi.
2-Misol. Ixtiyoriy uchburchak uchun ushbu

tengsizlik o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Buning uchun berilgan tengsizlik chap tomonini guruhlab yozib olamiz va Koshi tengsizligini qo’llaymiz:

Bu yerda tenglik faqat
bo’lganda, ya’ni bo’lganda bajariladi.
3-Misol. funksiyaning eng kichik qiymatini topamiz. Buning uchun berilgan funksiyani ushbu
ko’rinishida yozib olamiz va Koshi tengsizligini qo’llaymiz:

Bu yerda tenglik bo’lganda bajariladi. Demak, berilgan funksiyaning eng kichik qiymati ekan.
4-Misol. Agar bo’lsa, ushbu

tengsizlik bajarilishini isbotlaymiz. belgilash kiritib, berilgan tengsizlikni ushbu

ko’rinishda yozib olamiz va Yensen tengsizligidan foydalanamiz.
Yensen tengsizligini funksiya uchun yozamiz:


Oxirgi tengsizlikda desak,
ushbu

tengsizlik kelib chiqadi. Endi esa quyidagi tengsizlikni isbotlashga o’tamiz:





Bu tengsizlik o’rinli, chunki u Koshi-Bunyokovskiy tengsizligidir.
Demak uchun
tengsizlik o’rinli.
Isbot tugadi.
Xulosa
Matematika faning yorqin yulduzi, buyuk fransuz olimi Ogyusten-Lyu Koshi 1789 yili asilzodalar oilasida tug`ilgan. 1807 tildan Parijdagi yuqori malakali injenerlarni tayyorlaydigan mashhur Politexnika maktabini tugatdi. 1810 yildanboshlab Sherburgda injener bo`lib ishlagan.
Koshi turi sohalar bilan shug`ullangan: elastiklik nazariyasi, optika, osmon mexanikasi, differensial tenglamalar, geometrita, algebra va sonlar nazariyasi. Ammo Koshi qiziqishlarining asosi matematik analiz bo`lgan. U matematik analiz va kompleks o`zgaruvchili funksiyalar nazariyasi fanlarining asoschilaridan biridir.
1816 yilda O.Koshi Parij fanlar akademiyasining a’zosi qilib qabul qilingan va Politexnika maktabida professor bo`lib ishlay boshlagan. Bu yerda u o`zining matematik analizdan mashhur ma’ruzalar o`qigan. Bu ma’ruzalar keyinchalik uchta kitob shaklida chop qilingan: «Analiz kursi» (1821 y.), «cheksiz kichiklarni hisoblash ma’ruzalar rezyumesi» (1823 y.), «Analizning geometriyaga tadbiqlari bo`yicha ma’ruzalar» (1826-28 y.) . Oliy matematikada Koshining nomi bilan bog`liq bo`lgan teoremalar va terminlar ancha.
Chekli o’lchamli fazolarda aniqlangan chiziqli operatorlardan farqli o’laroq, cheksiz o’lchamli fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spektrini o’rganish ancha qiyin masaladir .
Ba'zi bir sinf operatorlarining spektrini biz to’laroq o‘rganishimiz mumkin. Operatoriarning bunday sinfi kompakt operatorlar deb nomlangan. Bu sinf operatorlari o'zining xossalari bo'yicha chekli o’lchamli operatorlarga o‘xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq izohlanadi


Foydalanilgan adabiyotlar
1. Hasanov.A.B, Yaxshimurotov A.B “Koshi tengsizlikligi va uning tadbiqlari” Urganch-2003
2. Mirzaahmedov M.A, Sotiboldiyev D.A “O’quvchilarni matematik olimpiadalarga tayyorlash” Toshkent-1993
3. Azlarov T, Mansurov H “Matematik analiz” 1-qism Tosh:1994
4. Nazarov X, Ostonov K “Matematika tarixi” Toshkent-1996
5.Toxirov.A, Mo’minov.F “Matematika olimpiada masalalari” Tosh:1996