Koshi teoremalari. Lopital qoidasi

limiti mavjud va

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

=
(1)
=
(1)

Misol. Ushbu limitni hisoblang

• Misol. Ushbu limitni hisoblang

Yechish. Bu holda bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi.

Haqiqatan ham,

• ,
• .
• bo‘ladi

Demak, 1-teoremaga binoan

2-teorema. Agar [c;+) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,

• 2-teorema. Agar [c;+) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,
• (c;+) da chekli f’(x) va g’(x) hosilalar mavjud va g’(x)0,
• .
• hosilalar nisbatining limiti ( chekli

yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar

nisbatining limiti mavjud va

=
(3)

2-teorema ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar

• 2-teorema ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar

xa da f(x), g(x) bo‘lsa, nisbat

ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.

• 3-teorema. Agar
• f(x) va g(x) funksiyalar (a;) nurda

differensiallanuvchi, hamda g’(x)0,

2)

mavjud bo‘lsa, u holda

• mavjud bo‘lsa, u holda

mavjud va bo’ladi

Misol. Ushbu limitni hisoblang

Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g’(x)=1; 3)

ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham

mavjud va tenglik o‘rinli

=
Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari

O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar

• Koshi teoremasini ayting.
• Koshi teoremasidan Lagranj teoremasini keltirib chiqaring.
• Nima uchun Ferma, Roll, Lagranj, Koshi, Darbu teoremalari o‘rta qiymat haqidagi teoremalar deyiladi?
• va da ko’rinishidagi
• aniqmaslikni ochish uchun Lopital qoidasini chiqaring.