Matеmatik statistikaning asоsiy masalalari

Mavzu: Muvofiqlik kriteriylari

Faraz qilaylik, X₁,X₂, ..., X_n lar bog‘liqsiz n ta tajriba natijasida X tasodifiy miqdorning olingan kuzatilmalari bo‘lsin. X tasodifiy miqdorning taqsimoti noma’lum F(x) funksiyadan iborat bo‘lsin. Taqsimot ko’rinishi to’g’risidagi gipotezani gistogramma yoki polygon ko’rishiga ko’ra ham aniqlash mumkin:

a)	b)	v)

4-rasm
а) normal taqsimot, b) ko’rsatkichli taqsimot, v) tekis taqsimot

Noparametrik asosiy gipotezaga ko‘ra H₀:F(x)=F₀(x). Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.

1. 
   A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati
   

X₁,X₂, ..., X_n kuzatilmalar asosida empirik taqsimot funksiyasini tuzamiz. Faraz qilamiz, F(x) uzluksiz taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz

Glivenko-kantelli teoremasiga ko‘ra n yetarli katta bo‘lganida D_n kichik qiymat qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza H₀ o‘rinli bo‘lsa D_n statistika kichik bo‘lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati D_n statistikaning shu xossasiga asoslangandir.

Teorema(Kolmogorov). Ixtiyoriy uzluksiz F(x) taqsimot funksiyasi va λ uchun

bo‘ladi.
D_n– statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi
.
Bu yerdan 0<α<1 – alomatning qiymatdorlik darajasi.
Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

1. 
   D_n – statistikaning H₀ gipoteza to‘g‘ri bo‘lgandagi taqsimoti F(x) ga bog‘liq emas;
   
2. 
   Amaliy nuqtayi nazardan n ≥ 20 bo‘lgandayoq teoremadagi yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya’ni ni K(λ) bilan almashtirishdan yo‘l qo‘yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.
   

Bu xulosalardan kelib chiqadiki, n ≥ 20 bo‘lsa kritik chegara t_α ni ga teng deb olish mumkin. Bu yerda λ_αK(λ_α) = 1- α tenglamaning ildizlaridan iborat. Haqiqatan ham berilgan 0< α <1 uchun

.

Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi:

1. 
   berilgan α orqali K(λ_α) = 1- α tenglama yechimi λ_α jadval yordamida topiladi.
   
2. 
   berilgan tajriba natijalari x₁, x₂, …, x_n larga ko‘ra t=D_n(x₁, x₂, …, x_n) qiymati hisoblanadi,
   
3. 
   va λ_α solishtiriladi, agar bo‘lsa asosiy gipoteza H₀ rad eriladi, aks holda tajriba H₀ ni tasdiqlaydi.
   

2.