Mavzu: Chiziqli algebra elementlari


Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish. Kroneker- Kapelli teoremasi



Yüklə 372,26 Kb.
səhifə15/18
tarix10.05.2022
ölçüsü372,26 Kb.
#57147
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   18
1-Mavzu Chiziqli algebra elementlari

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish.
Kroneker- Kapelli teoremasi

Yuqorida qaralgan noma’lumlari soni n ta, tenglamalari soni m ta


bo‘lgan (1) sistemani qaraylik. Uning koeffitsentlaridan tuzilgan (2)
matritsa va ozod hadlar qo‘shilishidan hosil bo‘lgan kengaytirilgan
matritsani qaraylik

 , 

Ravshanki rangA rangB.

Teorema. (Kroneker- Kapelli).YUqoridagi (1) chiziqli tenglamalar
sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun bu sistema matritsasi va kengaytirilgan
matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli.

Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda va x1=k1, x2=k2,..., xn=knva echimga ega bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi.



B matritsaning 1- ustunini k1 ga, 2- ustunini k2 ga va hokazo n ustunini kn ga ko‘paytirib oxirgi ustunidan ayiramiz va (8) ni hisobga


olib V ga ekvivalent matritsa hosil qilamiz

Bu matritsaning oxirgi ustunini o‘chirish bilan A matritsaga kelamiz.


Buning elementar almashtirishligini e’tiborga olsak: rangA=rangB.

Yetarliligi. rangA=rangB bo‘lsin. U holda A matritsadagi chiziqli


bog‘liq bo‘lmagan maksimal sondagi ustunlar V matritsada ham chiziqli
bog‘liq bo‘lmaydi. Demak shunday k1, k2,..., knkoeffitsentlar topiladiki, V
matritsaning oxirgi ustuni bu koeffitsentlarning A matritsa ustunlari
bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. V matritsaning oxirgi ustuni (1)
sistemaning oxirgi ustuni ekanligini hisobga olsak, Bu koeffitsentlar (1)
sistemaning echimi bo‘ladi. Demak A va V matritsalar rangining tengligi bu
sistemaning birgalikda ekanligini keltirib chiqaradi. Teorema isbot
bo‘ldi.

Agar rangA=rangB=n bo‘lsa tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng


bo‘lib sistema yagona echimga ega bo‘ladi.

rangA=rangB=kbo‘lib k1, k2,..., kknoma’lumlar erkli o‘zgaruvchi kk+1, kk+2,..., knlar orqali
ifodalanadi va sistema cheksiz ko‘p echimga ega bo‘ladi. Agar A va
kengaytirilgan V matritsalar ranglari teng bo‘lmasa, sistema echimga ega
bo‘lmaydi.

Agar (1) sistemada b1 =b2=... =bn=0 bo‘lsa sistema bir jinsli deb


ataladi.

Bu sistema doimo birgalikda, chunki kengaytirilgan V matritsa A


matritsadan elementlari noldan iborat oxirgi ustun bilan farq qiladi va
rangA=rangB. Agar rangA=n bo‘lsa sistema yagona x1 =0, x2 =0,..., xn=0 echimga ega. rangAYUqoridagi (9) sistema nolmas echimga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning
asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi kerak, bu tasdiq rangAkuchli bo‘ladi.


Yüklə 372,26 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   18




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin