Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

misol. topilsin.

Yechish. Integral ostidagi to’g’ri kasrning maxraji

х³+4x²+4x=x(x²+4x+4)=x(x+2)²

bo’lgani uchun 35.1 –teoremaga ko’ra

bo’ladi. Buni

ko’rinishida yozib

3х²+8=А(х²+4х+4)+B(x²+2x)+Cx=(A+B)x²+(4A+2B+C)x+4A

tenglikka kelamiz. Ikki ko’phadni tengligidan foydalanib

sistemani hosil qilamiz va uni yechib

А=2, В=1, С=-10

bo’lishini topamiz. Demak

.

Buni integrallab berilgan integralni topamiz:

3-misol. topilsin.

Yechish: 35.1- teoremaga ko’ra (35.3)

yoyilmaga ega bo’lamiz, bunda A₁, A₂, M, N hozircha noma‘lum sonlar. (35.3) tenglikning o’ng tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:

.

Bu ayniyatning maxrajlari teng bo’lgani uchun ularning suratlari ham o’zaro teng bo’ladi.

х²-5x+9=A₁(x-1)(x²+2x+2)+A₂(x²+2x+2)+(Mx+N)(x²-2x+1)

yoki

x²-5x+9=A₁(x³+x²-2)+A₂(x²+2x+2)+M(x³-2x²+x)+N(x²-2x+1).

bu yerdagi qavslarni ochib ko’phadni х ning darajalarini kamayishi tartibida joylashtirsak

x²-5x+9=(A+M)x³+(A₁+A₂-2M+N)x²+(2A₂+M-2N)x+(-2A₁+2A₂+N)

bo’ladi.

Tenglikning har ikkala tomonidagi bir xil darajali x lar oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirib qo’yidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Shu sistemani yechib A₁,A₂,M,N larni topamiz. Birinchi tenglamadan A=-M ni topib uni boshqa tenglamalarga qo’ysak

sistemaga ega bo’lamiz. Ikkinchi tenglamani -2 ga ko’paytirib uchinchi va to’rtinchi tenglamalarga qo’shsak

sistema kelib chiqadi. Bu sistemani oxirgi tenglamasini -4ga ko’paytirib uchinchi tenglamasiga qo’shsak -25M=-35 va bundan M= kelib chiqadi. Buni oxirgi sistemaning to’rtinchi tenglamasi 8M-N=7 ga qo’yib N ni aniqlaymiz:

N=8M-7=8∙ .

M va N ning topilgan qiymatlarini oxirgi sistemaning A₂-3M+N=1 tenglamasiga

qo’yib A₂ ni topamiz:

.

Sistemaning birinchi tenglamasidan A₁ =-M=- hosil bo’ladi. Shunday qilib

A₁=- , A₂=1, M= , N=

yechimga ega bo’lamiz. Ushbu qiymatlarni (35.3)ga qo’yib

yoyilmani hosil qilamiz. Buni integrallab berilgan integralni topamiz:

4-misol. integral topilsin.

Yechish. Integral ostidagi funksiya kasr-ratsional funksiya bo’lib, u noto’g’ri kasrdir. Bu kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrning butun qismini ajratamiz:

–

Kasrning maxraji x⁵+2x³+x=x(x⁴+2x²+1)=x(x²+1)² ko’rinishdagi ko’pytuvchilarga ajralishini hisobga olsak

tenglikka ega bo’lamiz.

Endi to’g’ri kasrni 35.1-teoremadan foydalanib eng sodda ratsional kasrlarga yoyamiz:

= (35.4),

x²-1=A(x²+1)²+(Bx+C)x(x²+1)+(Dx+E)x=A(x⁴+2x²+1)+Bx⁴+Cx³+Bx²+Cx+

+Dx²+Ex=(A+B)x⁴+Cx³+(2A+B+D)x²+(C+E)x+A.

Bu yerdagi bir xil darajali x lar oldidagi koefitsiyentlarni tenglashtirib

sistemaga ega bo’lamiz. Sistemani yechib A=-1, B=1, C=0, D=2, E=0 ekanini topamiz. Noma’lum koefitsiyentlarning topilgan qiymatlari (35.4) ga qo’yib

tenglikni hosil qilamiz.

Shunday qilib

Demak,

bo’ladi.

Eslatma. Ba’zan ratsional kasrni eng sodda ratsional kasrga yoyishda aniqmas koefitsiyentlar usuliga murojat qilmasdan uni sun’iy ravishda eng sodda kasrlarga yoyish ham mumkin.

Buni bir necha misollar yordamida ko’rsatamiz.

5-misol. (a≠b) topilsin.

Yechish.

ayniyat to’g’ri ekanligini ko’rsatish qiyin emas. Demak,

Quyidagi integrallar ham xuddi shunday topiladi.

6-misol.

7-misol. .

8-misol.



9-misol.



10-misol.



11-misol.



12-misol.



13-misol.



14-misol.