Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

misol. topilsin.

Yechish. 35.1-teoremadan foydalanib integral ostidagi to’g’ri kasrni eng sodda ratsional kasrga yoyamiz:

. (35.2)

bu yerdagi А₁, А₂, А₃ koeffitsientlarni topish uchun so’nggi tenglikning o’ng tomonidagi yig’indini umumiy maxrajga keltiramiz

.

Tenglikning har ikkala tomonidagi kasrlarning maxrajlarining tengligidan ularning suratlarini ham tengligi kelib chiqadi, ya‘ni

2x² +41х-91=A₁ (x² –x-12)+ A₂ (x² –5x+4)+ A₃ (x²+ 2x-3) yoki

2x² +41х-91=(А₁+А₂+А₃)х²+(-А₁-5А₂+2А₃)х+(-12А₁+4А₂-3А₃)
Ikkita ko’phad aynan teng bo’lishi uchun bir xil darajal xlar oldidagi koeffitsientlar teng bo’lishi kerak. mos koeffitsientlarni o’zaro tenglashtirib

uchta А₁ , А₂ , А₃ noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Shu sistemani yechamiz.

Sistemaning birinchi tenglamasini ikkinchi tenglamasiga va birinchi tenglamani 12 ga ko’paytirib uchinchi tenglamasiga qo’shsak

sistema hosil bo’ladi. Bu sistemaning birinchi tenglamasini 4 ga ko’paytirib, ikkinchi tenglamaga qo’shsak 21А₃ =105 tenglik hosil bo’lib undan А₃ =5 kelib chiqadi. А₃ =5 qiymatni oxirgi sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yib А₂ ni topamiz:

-4А₂ +3∙5=43; -4А₂ =28; А₂ =-7.

А₃ =5, А₂ =-7 qiymatlarni А₁+А₂+А₃=2 tenglikka qo’yib А₁ ni topamiz:

А₁ –7+5=2, А₁ =4.

А₁, А₂ va А₃ larning topilgan qiymatlarini (35.2) ga qo’ysak

yoyilma hosil bo’ladi. Uni integrallab berilgan integralni topamiz:

2.