Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

Adabiyotlar: 6,7,9.

Tayanch iboralar: ko’phad, ko’phadning ildizi, qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish, qoldiqli, qoldiqsiz, karrali, chiziqli ko’paytuvchi, kvadrat uchhad, oddiy ildiz, chiziqli funksiya.
31.1. Kompleks sohada ko’phadlar. Ko’phadlarning ildizi. Bezu teoremasi

Ta‘rif. п natural son bo’lganda

F(х)=а_ох^п+ а_ох^п-1+…+ а_п

ko’rinishdagi funksiya ko’phad yoki butun ratsional funksiya deb ataladi; p soni ko’phadning darajasi deyiladi. Bu yerda а_о≠0, а₁,…, а_п koeffitsientlar ma‘lum haqiqiy yoki kompleks sonlar; erkli o’zgaruvchi x ham haqiqiy, ham kompleks qiymatlar olishi mumkin. O’zgaruvchi x ning ko’phadni nolga aylantiradigan qiymati ko’phadning ildizi deb ataladi.

Birinchi darajali у=ах+в ko’phad chiziqli funksiya deb ataladi; ikkinchi darajali у=ах²+вх+с (а≠0) ko’phad kvadrat uchhad deb ataladi. у=а_о o’zgarmas sonni nolinchi darajali ko’phad sifatida qabul qilamiz.

Ko’phad п-darajali ko’phad ekanligini ta‘kidlash maqsadida uni Р_п(х) kabi yoziladi.

Ikkita Р(х) va Q(х) ko’phadlarning bir xil darajali x lar oldidagi koeffitsientlari teng bo’lsa ular teng deyiladi.

Teng ko’phadlar x ning barcha qiymatlarida bir xil qiymatlar qabul qiladi.

Ko’phadlarni qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish mumkin. Ko’phadlarni qo’shish, ayirish va ko’paytirish amallari maktab kursidan ma‘lum usullar asosida bajariladi.

Ko’phadlarni bo’lish qoldiqsiz (butun) va qoldiqli bo’lishi mumkin. Р_п(х) va D_m(х) ko’phadlar berilgan bo’lsin, bunda n m. Agar Q_n-m(x) ko’phad mavjud bo’lib

Р_п(х)= D_m(х)· Q_n-m(х)

tenglik bajarilsa Р_п(х) ko’phad D_m(х) ko’phadga qoldiqsiz bo’linadi deb ataladi. Bunda Р_п(х) bo’linuvchi, D_m(х) bo’luvchi, Q_n-m(х) bo’linma ko’phad deyiladi.

Masalan х²-1 ko’phad х+1 ko’phadga qoldiqsiz bo’linadi, chunki х-1 ko’phad mavjud bo’lib х²-1=(х+1)(х-1) tenglik bajariladi.

Ko’phadlarni qoldiqsiz bo’lish har doim ham bajarilavermaydi, masalan х²+1 ko’phad х-1 ko’phadga qoldiqsiz bo’linmaydi.

Agar Q_n-m(х) ko’phad hamda darajasi D_m(х) ko’phadning darajasi m dan kichik bo’lgan R(х) ko’phadlar mavjud bo’lib

Р_п(х)= D_m(х)· Q_n-m(х)+ R(х)

tenglik bajarilsa Р_п(х) ko’phad D_m(х) ko’phadga qoldiqli bo’linadi deb ataladi. Bunda Р_п(х) bo’linuvchi, D_m(х) bo’luvchi, Q_n-m(х) bo’linma, R(х) – qoldiq ko’phadlardir.

Ko’phadlarni qoldiqli bo’lish har doim ham bajariladi.

Ko’phadlarni bo’lish amali bo’linuvchining darajasi bo’linuvchining darajasidan katta bo’lmagandagina bo’linishini yana bir bor ta‘kidlaymiz.

Ko’phadlarni bo’lishdan chiqadigan bo’linma va qoldiqni topishning har xil usullari mavjud. Ularni sonlarni bo’lishda foydalaniladigan «burchakli bo’lish» qoidasidan foydalanib topish ham mumkin.

1-misol. Р₄(х)=3х⁴-2х³+х²+5х+1 ko’phadni D₃(х)= х³+2х²+3х+4

ko’phadni bo’ling. Bo’linma va qoldiqni toping.

Yechish. _{_}3х⁴-2х³+х²+5х+1

3х⁴+6х³+9х²+12х

^{_______________________}

__-8х³-8х²-7х+1

-8х³-16х²-24х-32

^{_________________________}

8х²+17х+33 .

bundan Q₁(х)=3х-8-bo’linma, R(х)=8х²+17х+33 qoldiq hadga ega bo’lamiz.

Demak,

3х⁴-2х³+х²+5х+1=(х³+2х²+3х+4)(3х-8)+( 8х²+17х+33).