Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

35.1. Kasr-ratsional funksiyani eng sodda ratsional kasrlarga yoyish.

Ma‘lumki,

funksiya n-darajali ko’phad deyiladi, bunda o’zgarmas haqiqiy sonlar ko’phadning koeffitsientlari, n-natural son esa daraja ko’rsatkichi.

Ta‘rif. Ikki ko’phadning nisbati kasr-ratsional funksiya yoki ratsional kasr deyiladi:

.

Agar bo’lsa, u holda ratsional kasr to’g’ri, bo’lganda ratsional kasr noto’g’ri kasr deyiladi.

Masalan - to’g’ri kasr, va kasrlar noto’g’ri kasrlardir. ratsional kasr noto’g’ri kasr bo’lganda kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrni

ko’rinishga keltiriladi, bunda -ko’phad, to’g’ri kasr.

Shunday qilib, noto’g’ri ratsional kasrni ko’phad bilan to’g’ri kasrning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin ekan.

q_k(x)=c₀x^k+c₁x^k-1 +...+c_k ko’phadning integrali

kabi topilgani uchun noto’g’ri kasrni integrallash to’g’ri kasrni integrallashga keltiriladi.

Ushbu

to’g’ri ratsional kasrni qaraymiz. Kasrning maxraji

(35.1)

ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajralsin.

Quyidagi teorema o’rinli:

35.1-teorema. Maxraji (35.1) ko’rinishdagi yoyilmaga ega bo’lgan har qanday

to’g’ri ratsional kasrni I-, II-, III-, IV- turdagi eng sodda ratsional kasrlarning yig’indisi ko’rinishda tasvirlash mumkin. Bunda:

а) (35.1) yoyilmaning ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga I- turdagi bitta eng sodda

kasr mos keladi;

b) (35.1) yoyilmaning ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga I- va II- turdagi к ta eng sodda kasrlarning yig’indisi

mos keladi;

d) (35.1)yoyilmaning x² +px+q ko’rinishidagi ko’paytuvchisiga III-turdagi bitta

eng sodda ratsional kasr mos keladi;

e) (35.1)yoyilmaning (x² +px+q)^s ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga III- va- IV turdagi s ta eng sodda ratsional kasrlarning yig’indisi

mos keladi.

To’g’ri ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar yig’indisiga yoyilmasida A_i , B_i koeffitsientlarni aniqlash uchun turli xil usullar mavjud. Ulardan noma‘lum koeffitsientlar usuli bilan misollarda tanishamiz.

1.