Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

2-мисол. Р₄(х)=х⁴-1 ko’phad D₁(х)=х+1 ko’phadga bo’linsin.

Bo’linma va qoldiq topilsin.

Yechish. Qisqa ko’paytirish formulasi а²-в²=(а+в)(а-в) ga binoan

Р₄(х)=(х²)²-1²=(х²-1) (х²+1)=(х-1)(х+1) (х²+1).

Demak, Q₃(х)=(х-1)(х²+1) = х³-х²+х-1 bo’linma, qoldiq R(х)=0.

ya‘ni х⁴-1 ko’phad х+1 ko’phadga qoldiqsiz bo’linar ekan.

Р_п(α)=0 bo’lsa х=α son Р_п(х) ko’phadning ildizi bo’lishi yuqorida ta‘kidlandi.

Endi Р_п(х) ko’phadni х-α ga bo’lishdan chiqadigan qoldiqni bo’lish jarayonini bajarmasdan topish imkonini beradigan teoremani keltiramiz.

Bezu teoremasi. Р_п(х) ko’phadni х-α ikki hadga bo’lganda Р_п(α)ga teng qoldiq hosil bo’ladi.

Isboti. Р_п(х) ko’phadni х-α ikkihadga bo’lib

Р_п(х)=( х-α) Q_п-1(х)+R

tenglikni hosil qilamiz. Bunga х=α qiymatni qo’yib isbotlanishi lozim bo’lgan Р_п(α)=R tenglikka ega bo’lamiz.

3-misol. Р₄(х)=х⁴-2х²-3 ko’phadni: а)х-2; b)х-i ikkihadlarga bo’lishdan chiqqan qoldiqni toping.

Yechish. а) R= Р₄(2)=2⁴-2·2²-3=5.

b) R= Р₄(i)=i⁴-2·i²-3=0.
Bezu teoremasining natijasi. Agar α son Р_п(х) ko’phadning ildizi ya‘ni Р_п(α)=0 bo’lsa, Р_п(х) ko’phad х-α ga qoldiqsiz bo’linadi. Demak u

Р_п(х)=( х- α) Q_п-1(х)

ko’paytma ko’rinishda tasvirlanadi.

Demak, Р_п(х) ko’phadning х-α ga qoldiqsiz bo’linishi uchun α son Р_п(х) ko’phadning ildizi bo’lishi talab qilinar ekan.

4-misol. Р₃(х)=х³-9х²+26х-24 ko’phadning ildizlari topilsin.

Yechish. Р₃(2)=2³-9·2²+26·2-24=0 bo’lganligi sababli berilgan ko’phad x-2 ga qoldiqsiz bo’linadi, ya‘ni x=2 shu ko’phadning ildizi bo’ladi. ko’phadning boshqa ildizlarini topish uchun uni x-2 ga bo’lishdan hosil bo’ladigan bo’linmani topamiz:

_ х³-9х²+26х-24

х³-2х<sup>2

_______________________</sup>

__-7х²+26х-24

-7х²+14х

^{_________________________}

_12х-24

_____ 12х-24____

0

shunday qilib,Р₃(х)=(х-2)( х²-7х+12) tenglikka ega bo’lamiz. Agar х²-7х+12=0

kvadrat tenglamaning ildizlarini topsak Р₃(х) ko’phadning qolgan ildizlarini topgan bo’lamiz:

Demak, Р₃(х)=(х-2)(х-3)(х-4) va 2,3,4 sonlar berilgan ko’phadning ildizlari bo’lar ekan.

Ko’phadni darajasi noldan farqli bir nechta ko’phadlarning ko’paytmasi shaklida tasvirlash uni ko’phadlarga ajratish deyiladi.
31.2. Algebraning asosiy teoremasi. Ko’phadni chiziqli ko’payturuvchilarga ajratish

Р_п(х) п-darajali (nЄN) ko’phad bo’lganda Р_п(х)=0 tenglama п-darajali algebraik tenglama deyiladi. Ta‘rifdan algebraik tenglamaning ildizlari Р_п(х) ko’phadning ildizlaridan iborat ekanligi kelib chiqadi.

Birinchi darajali ах+в=0 (а≠0) algebraik tenglama har doim bitta ildizga ах²+вх+с=0 kvadrat tenglama

ildizlarga ega ekanligini bilamiz. Bu holda algebraik tenglama (ko’phad)ning ildizlari uning koeffitsientlari ustida ma‘lum amallarni bajarish natijasida topiladi. uchinchi va to’rtinchi darajali algebraik tenglama (ko’phad) larning ildizlarini topish uchun ham formulalar yaratilgan. Ammo darajasi besh va undan katta bo’lgan algebraik tenglama (ko’phad) larni ildizlarini topish uchun bunaqa formulalar yaratib bo’lmasligi ko’rsatilgan.

Bu yerda biz algebraik tenglama (ko’phad)ning ildizlarini topish bilan shug’ulanmaymiz.

Istalgan algebraik tenglama (ko’phad) ildizga egami, n-darajali algebraik tenglama (ko’phad) nechta ildizga ega bo’lishi mumkin degan savollarga javob izlaymiz.

Algebraning asosiy teoremasi. Har qanday ko’phad kamida bitta (haqiqiy yoki kompleks) ildizga ega.

Bu teoremaning isbotini hozircha keltirmaymiz. Teoremaga ko’ra har qanday algebraik tenglama kamida bitta ildizga ega ekanligi kelib chiqadi. teoremadan foydalanib ushbu teoremani isbotlaymiz.

31.1-teorema. Har qanday п-darajali Р_п(х)= _ох^п+ ₁х^п-1+…+ _п

ko’phad x-α ko’rinishdagi п ta chiziqli ko’paytuvchilarga ajraladi, ya‘ni:

Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) ₍х- ₂ )…(х- _п) (31.1)

ko’rinishda tasvirlash mumkin.

Isboti. Algebraning asosiy teoremasiga binoan P_n(x) ko’phad kamida bitta α₁ ildizga ega. U holda Bezu teoremasining natijasiga ko’ra bu ko’phadlarni P_n(x)=(х- ₁ )Q_n-1(x) ko’rinishda tasvirlash mumkin.

Algebraning asosiy teoremasiga binoan Q_п-1(х) ko’phad ham kamida bitta ₂ ildizga ega. U holda Bezu teoremasining natijasiga ko’ra ko’phadni

Q_п-1(х)= (х- ₂ )Q_п-2(х)

ko’rinishda tasvirlash mumkin.

Shu jarayonni davom ettirib,

Q₁(х)= (х- _п )Q₀(х)

tenglikka ega bo’lamiz, bunda Q₀ biror son. Bu son xⁿ oldidagi koeffitsient _о ga teng bo’lishi ravshan,ya‘ni Q₀=a₀.

Topilgan tengliklarga asoslanib isbotlanishi lozim bo’lgan (31.1) munosabatni hosil qilamiz. Eng oxirgi tenglikdan ₁, ₂… _п sonlar Р_п(х)

ko’phadning ildizlari ekanligi kelib chiqadi, chunki

Р_п( ₁)= Р_п( ₂)=…= Р_п( _п)=0.

Xulosa: п-darajali ko’phad п tadan ortiq har xil ildizlarga ega bo’la olmaydi.
31.3. Haqiqiy koeffitsientli ko’phadni chiziqli va kvadrat uchhad ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratish

Agar п-darajali ko’phadning chiziqli ko’paytuvchilarga yoyilmasi

Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) ₍х- ₂ )…(х- _п)

da ba‘zi chiziqli ko’paytuvchilar bir xil bo’lsa, ularni birlashtirish mumkin. U holda (31.1) yoyilma

Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) ₍х- ₂ ) …(х- _п)

ko’rinishga ega bo’ladi, bunda к₁+к₂+…+к_т=п. Bu holda а₁ ildizga ko’phadning к₁ karrali ildizi, ₂ uning к₂ karrali ildizi deyiladi va hokazo. ko’phadning 1 karrali ildizi uning oddiy ildizi deyiladi.

Masalan, Р₆(х)= ₍х+1 )³ ₍х-2 )²(х +3)

ko’phad uchun х=-1 uch karrali, х=2 ikki karrali, х=-3 esa oddiy ildiz bo’ladi.

Agar ko’phad к karrali ildizga ega bo’lsa u к ta bir xil ildizlarga ega deb hisoblanadi.

Xulosa: Har qanday n-darajali ko’phad roppa-rosa п ta ildizga (haqiqiy va kompleks) ega.

Demak, har qanday п-darajali algebraik tenglama roppa-rosa п ta ildizlarga ega ekan. Algebraik bo’lmagan tenglamalar ildizga ega bo’lmasligi ham mumkin. Masalan е^z=0 tenglama ildizga emas.

31.2-teorema. Agar =γ+ίδ kompleks son haqiqiy koeffitsientli Р_п(х) ko’phadning ildizi bo’lsa, u holda unga qo’shma =γ-ίδ son ham shu ko’phadning ildizi bo’ladi.

Bu teoremani isbotsiz qabul qilamiz.

Bu teoremaga ko’ra (31.1) yoyilmada kompleks ildizlar o’z qo’shma juftlari bilan qatnashadilar.

(31.1) yoyilmadagim kompleks qo’shma ildizlarga mos keluvchi chiziqli ko’paytuvchilarni ko’paytiramiz:

₍х- ) ₍х- )=[х- (γ+ίδ)][х- (γ-ίδ)]=[(х- γ)-ίδ][ (х- γ)+ίδ]=

=(х- γ)²-(ίδ)²=х²-2хγ+γ²+δ²,

-2γ=ρ,γ²+δ²=q deb belgilasak

(х- ) (х- )=х²+рх+q

tenglikka ega bo’lamiz, bunda ρ va q - haqiqiy sonlar.

Shunday qilib yoyilmadagi qo’shma kompleks ildizlarga mos keladigan chiziqli ko’paytuvchilar ko’paytmasini haqiqiy koeffitsientli kvadrat uchhad bilan almashtirish mumkin ekan.

Agar γ=+iδ kompleks son ko’phadning k karrali ildizi bo’lsa, u holda =γ-iδ qo’shma kompleks son ham shu ko’phadning k karrali ildizi bo’ladi.

Bu holda (x- )^k(x-α)^k ko’paytmani (x²+pk+q)^k bilan almashtirish mumkin.

Shunday qilib, haqiqiy koeffitsientli n-darajali ko’phad darajasi tegishlicha karrali chiziqli va haqiqiy koeffitsientli kvadrat uchhad shakldagi ko’ytuvchilarga ajraladi, ya‘ni:

Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) · ₍х- ₂ ) …(х- _r) ·(x²+p₁x+q₁) x

x(x²+p₂x+q₂) … (x²+p_еx+q_е) ,

bunda к₁₊ к₂₊ …+к_r+2s₁+ 2s₂+...+2s_e=n va ₁, ₂,… _r,p₁,q₁,… p_e,q_e haqiqiy sonlar.

5-misol. Р₈(х)= х⁸-х⁶-х²+1 ko’phadni ko’paytuvchilarga ajrating.

Yechish. Р₈(х)= х⁸-х⁶-х²+1= х²(х⁶-1)- (х⁶-1)= (х²-1) (х⁶-1)=

= (х-1) (х+1)((х³)²-1²)= (х-1) (х+1)(х³-1)(х³+1)= (х-1) (х+1)(х-1)х

х(х²+х+1)(х+1) (х²-х+1)= (х-1)²(х+1)²(х²+х+1)(х²-х+1).