Mavzu: matematik fizika tenglamalarini sonli yechishda variatsion usullar

Eslatma. Agar α₁=0 va β₁≠0 bo’lsa , u holda

bo’lib , (23) va (24) dan I(u) funksional sifatida quyidagini olish mumkin :

Agar α₁≠0 va β₁=0 bo’lsa , u holda

bo’lib,

Bo’ladi. Nihoyat α₁=β₁=0 bo’lsa , u holda I(u) funksional quyidagi soda ko’rinishga ega bo’ladi:


II-Bob. Matematik fizika masalalarini sonli variatsion usullar bilan yechish.
2.1.Rits metodining g’oyasi
Rits metodi variatsion masalani taqribiy yechishga mo’ljallangan. Soddalik uchun biror chiziqli K={u} funksiyalar to’plamida aniqlangan ushbu
(1)
Funksionalni qaraymiz , bu yerda A-musbat simmetrik chiziqli operator, f(p)- berilgan uzluksiz funksiya . Faraz qilaylik , K sinfning funksiyalari quyidagi chiziqli chegaraviy shartni qanoatlantirsin:
, (2)
bu yerda R-ma’lum chiziqli funksional, 𝜓(p)- berilgan funksiya .
Endi yetarlicha silliq chiziqli erkli

Funksiyalar ketma-ketligini shunday tanlaymizki, bir jinsli bo’lmagan
,
Chegaraviy shartni qanoatlantirib, qolganlari bir jinsli shartlarni qanoatlantirsin:

Chegaraviy ushbu

chiziqli kombinatsiyani olamiz ,

bo’lganligi sababli ixtiyoriy uchun .
Endi (1), (2) variatsion masalaning yechimini (3) ko’rinishda izlaymiz . Buning uchun ifodani (1) funksionalga qo’yib , quyidagiga ega bo’lamiz:
, (4)
Bunda F nta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan ma’lum funksiya. Biz larni shunday tanlashimiz kerakki, minimumga erishsin . Buning uchun shunday sonlar quyidagi

tenglamalar sistemasining yechimi bo’lishi kerak. Bu sistemani yechib,
ga minimum beradigan larni topamiz; bu qiymatlarni (3) ga qo’yib, kerakli taqribiy yechimni hosil qilamiz:

Shuni ham ta’kidlash kerakki, muayyan , hollarda bu taqribiy yechimni topish jarayoni juda sodda. Chunki amaliyotda uchraydigan muhim xollarda I(u) funksionalda uchraydigan integrallarda integral ostidagi ifoda u, u’_x, u_y ,..., larga nisbatan ikkinchi darajali ko’phad bo’lib , (5) sistema laraga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi. Amaliyotda yetarlicha aniqlikka erishish uchun n=2,3,4,5, hatto ayrim hollarda n=1deb olsak ham, yetarli bo’ladi.