Mavzu: matematik fizika tenglamalarini sonli yechishda variatsion usullar

1 -teorema. Agar u*(x) funksiya joiz funksiyalar orasida (9) funksionalning minimumini ta’minlasa, u holda u (10) chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi.
Endi teskari teoremani ko’rib chiqamiz.
2-teorema. Agar u*(x) funksiya (10) chegaraviy masalaning yechimi bo’lsa, u holda u joiz funksiyalar orasida J(u*) funksionalning minimumini ta’minlaydi.
Isboti . Faraz qilaylik, u*(x) (10) chegaraviy masalaning yechimi bo’lsin. Ixtiyoriy u*(x) joiz funksiyani olib, u(x) =u*(x) - ε(x) belgilash kiritamiz, u(x) va u*(x) funksiyalar [a, b]oraliqning chegaralarida bir xil qiymatlarni qabul qilganligi uchun ε(x) funksiya uzluksiz hosilaga ega bo’lib, ε(𝑎) = ε(b) = 0 shartlarni qanoatlantiradi. Endi u(x) = u*(x) + ε(x) ni (9) integralga qo’yamiz:
(11)
O’rtadagi integralning birinchi hadini bo’laklab integrallaymiz, natijada

kelib chiqadi. Chunki u*(x) yechim (10) chegaraviy masalaning yechimi
bo’lib, ε(a) = ε(b) = 0. Shuning uchun ham (11) tenglik quyidagi



(12)
ko’rinishga ega bo’ladi. Boshida qo’yilgan shartga ko’ra p(x)>0 va
q(x)≥0.Shuning uchun ham (12) dagi oxirgi had manfiy emas va har qanday u(x)joiz funksiya uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan tashqarida,

tenglikdan manfiy bo’lmagan uzluksiz funksiya bo’lganligi uchun [a,b] da ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki, p(x) > 0. Shuning uchun ham ε'(x) = 0 va ε ( x ) = const bo’lishi kerak.Ammo oraliqning chetlarida ε(x) nol bo’lganligi uchun [a,b]da ε(x) = u(x)-u*(x) aynan nol bo’lishi kerak. Demak, J(u ) = J(u*) faqat u = u* bo’lgandagina bajariladi. Teorema isbotlandi.
Biz eng sodda masalada chegaraviy masala bilan variatsion masala orasidagi bog’lanishni ko’rib chiqdik. Birinchi teorema chegaraviy masalani variatsion masalaga keltiradi, ikkinchisi esa aksincha, variatsion masalani chegaraviy masalaga keltiradi.
Endi murakkabroq funksionallarni ko’rib chiqamiz. Agar
(13)
funksionalning minimum

(14)
Chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar orasida qidirilsa , u holda Eyler tenglamasi 2n tartibli bo’lib quyidagidan iborat:
(15)
Agar
(16)
Funksionalning minimumi qidirilsa , u holda Eyler tenglamasi quyidagi tenglamalar sistemasidan iborat :

------------------------- (17)

Boshqa tomondan chegaraviy masalalar orasida ko’pincha o’z-o’ziga qo’shma deb ataluvchi masalalar uchraydi. Bunday masalalar xususiy holda quyidagicha tavsiflanadi: qandaydir funksional mavjudki, uning minimumining sharti, ya’ni mos ravishdagi Eyler tenglamasi berilgan chegaraviy masala bilan ustma-ust tushadi. Bunday chegaraviy masalani yechish uchun unga mos keladigan funksionalning minimumini ta’minlovchi u*(x) funksiyani, masalan,(11) chegaraviy masala uchun ( 9) integralni topish kifoyadir.
Variatsion hisob ko’p o’lchovli fazo uchun ham yaxshi natijalarni beradi.