Mavzu: matematik fizika tenglamalarini sonli yechishda variatsion usullar

I-Bob.Variatsion masala haqida umumiy tushuncha .
Variatsion masala bilan chegaraviy masalaning o’zaro aloqasi haqida
Variatsion hisob metodlari mexanika, boshqaruv nazariyasi, matematik fizika va shu kabi sohalarda keng qo’llaniladi. Bu sohalarda masalalarni yechish uchun uni yo differensial tenglamaga yoki biror funksionalning minimumini topishga keltiriladi. Bu kurs ishimda qaraladigan metodlar ham kollokatsiya metodi kabi takribiy yechimni analitik shaklda ifodalaydi.
Masalaning mohiyatini tushunish uchun eng sodda
(1)
funksionalni qaraymiz, bunda F(x, y, g) berilgan funksiya bo’lib,uch o’lchovli Yevklid fazosining biror sohasida F(x,y,z) o’zgaruvchilarga nisbatan ikkinchi tartibli hosilalarigacha uzluksizdir.Faraz qilaylik, u(x) funksiya [a, b]oraliqda uzluksiz bo’lib,(a, b) da uzluksiz hosilaga ega va [a, b] ning chekka nuqalarida
(2)
shartlarni qanoatlantirsin.
funksiyaning ε-atrofida deb funksiyalarning shunday
Oilasiga aytiladiki, ular [a,b] ning barcha nuqtalarida

tengsizlikni qanoatlantirsin, (a, b) da u(x) uzluksiz hosilaga ega va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bunday oilaga kiradigan funksiyalar taqqoslashga joiz yoki sodda qilib joiz funksiyalar deyiladi. Variatsion hisobning asosiy masalasiga ko’ra joiz funksiyalar orasida shunday u(х) funksiyani topish kerakki, у ( 1) funksionalga absolyut minimum bersin:
.
Endi D oilada J(u) funksionalga minimumni ta’minlaydigan u*(x) uchun zaruriy shartni topamiz. Shu maqsadda
(3)

shartlarni qanoatlantiradigan uzluksiz hosilaga ega bo’lgan u_j(x)

funksiyani olamiz. Keyin ushbu u_i(x) = u(x) + tη(x) funksiyani
qaraymiz. Bunda t — kichik parametr, shuning uchun ham u_t(x) D oilada yotadi, deb faraz qilish mumkin. Bu funksiyani J funksionalga ko’yamiz, u holda
(4)
ifoda kelib chiqadi. Bu ifodani t ning funksiyasi deb qaraymiz:
J(u_t)≤φ(t). Bu funksiya hosilasining t = 0 nuqtadagi J qiymati J
funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va δJ kabi belgilanadi:

Xuddi shunga o’xshash

Qiymat J funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi .(4) ifodadan
va variatsiyalar uchun quyidagi ifodalarni topamiz :
(5)
(6)
(3) chegaraviy shartlarni hisobga olib ,(5) ni bo’laklab integrallaymiz:
(7)
Ma’lumki, φ(x)ning t = 0 nuqtada ekstremumga ega bo’lishining sharti
φ'(0) = 0, ya’ni δJ=0. Shuning uchun ham (7) tenglikda η(x) funksiyaning ixtiyoriyligidan ( 2 ) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan va (1) integralga minimumni ta’minlaydigan u*(x) funksiya
(8)
differensial tenglamani qanoatlantirishi kerak. Bu tenglama Eyler tenglamasi deyiladi. Shuni ham ta’kidlash kerakki, u*(x) funksiya J funksionalga minimumni ta’minlasa, u holda φ(0) = δ ²J≥ 0 bo’lishi kerak.
Misol sifatida

funksionalni olamiz. Bu yerda [a, b] da q(x) uzluksiz hosilaga ega bo’lib, p(x) ≥ p >0 shartni qanoatlantiradi, q(x) va f(x ) funksiyalar esa uzluksiz bo’lib, q(x) ≥ 0 deb faraz qilamiz.
Ravshanki,

Shuning uchun ham (9) integral uchun Eyler tenglamasi

yoki
(10)
chegaraviy masalaga keladi; bu yerda chegaraviy shartlarning bajarilish u*(x) funksiyaning D oilaga kirishidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbot qildik: