Mavzu: matematik fizika tenglamalarini sonli yechishda variatsion usullar

2.2.Puasson va Laplas tenglamalari uchun chegaraviy masalalar hamda ularni Rits usuli bilan yechish.
Aytaylik, Gtekislikdagi biror soha bo’lib Г uning chegarasi va bo’lsin.
Faraz qilaylik, bizga
Puasson tenglamasi berilgan bo’lsin berilgan bo’lsin. Bu tenglamaning Г chegarada

shartni qanoatlantiradigan yechimini G sohada topish talab qilinsin, bunda
berilgan funksiya. Agar bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Biz, avvalo, (1),(3) chegaraviy masalani yechamiz. O’zining birinchi va ikkinchi hosilalari bilan da uzluksiz hamda Гchegarada nolga aylanadigan joiz funksiyalar sinfi D={u(x,y)} da

operatorning simmetrikligi va musbatligini ko’rsatamiz. Buning uchun Grinning ushbu

formulasidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, bo’lsin.Ushbu ifodani ko’ramiz:

Endi Grin formulasida
deb olib, chegaraviy shartlarni hisobga olsak, u holda


yoki

kelib chiqadi. Demak, A operator simmetrik . Endi uning musbatligini aniqlaymiz:
(7)
Demak,

Agar (Au,u)=0 bo’lsa, u holda (8) formulaga ko’ra

Bundan u(x,y)=c va (3) chegaraviy shartdan

Shunday qilib, operator musbat ekan. Bundan kelib chiqadiki, (3) bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan (1) masala 2-teoremaga ko’ra ushbu

Funksionalning Dsinfda minimumini qidirish bilan teng kuchlidir. (8)formulaga ko’ra bu funksional quyidagi ko’rinishga ega:

Endi (1)chegaraviy masalani (2) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartlar bilan qaraymiz.
Faraz qilaylik D₁={u(x,y)} funksiyalar sinfi Gda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalardan iborat bo’lsin. Shunday funksiyani quramizki,u (2) chegaraviy shartni qanoatlantirsin. Ushbu

Funksiyani kiritamiz, bu yerda u(x,y) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradi. U holda ϑ(x,y) funksiya Г chegarada (3) shartni qanoatlantiradi:


Operator tenglamaning yechimi bo’ladi, bunda ma’lum funksiya. Ushbu ϑ=ϑ(x,y) funksiya (13), (12) chegaraviy masalaning yechimi bo’lib, (9) , formulaga ko’ra

Funksionalga minimum beradi. Bu tenglikda avvalgi u(x,y) o’zgaruvchi qaytib , skalyar ko’paytma va chiziqli operatorning xossalaridan foydalanib , quyidagilarni hosil qilamiz:

Bu tenglikdan oxirgi ikki had u(x,y) ga bog’liq bo’lmaganligi tufayli (12) funksionalga minimum beradigan funksiya quyidagi

Funksionalga ham minimum beradi.
Endi (16) funksionalni shunday funksional bilan almashtiramizki, unda z funksiya qatnashmaydi. Buning uchun(6) formulada ishlatilgan almashtirishlardan foydalanamiz:

Bu yerda vektor Г ga nisbatan tashqi normal va

Bundan

Ni hisobga olib , quyidagini hosil qilamiz :

Ikkinchi tomondan (7) formulaga asosan

Endi (17) (18) larni (16) formulaga qo’ysak , quyidagi kelib chiqadi :

Bu formuladagi oxirgi had u(x,y) funksiyaga bo’liq emas .Shuning uchun ham (1) (2) chegaraviy masala D₁joiz funksiyalar sinfida

funksional uchun variatsion masala bilan teng kuchlidir .
Xususiy holda f(x,y)=0 bo’lsa, biz

Laplas tenglamasiga kelamiz , u holda (1),(2) chegaraviy masala Drixli masalasiga aylanadi.(19) formuladan ko’ramizki, Drixli masalasining u(x,y) yechimi D₁sinfda

Drixle integraliga minimumni ta’minlaydi.
Misol. sohada

Drixle masalasi yechilsin .
Yechish bu chegara x=0 , x=1 , y=0, y=1 to’g’ri chiziqlar bo’lganligi uchun basis funksiyalarni quyidagicha tanlaymiz :
,



va chiziqli kombinatsiya ushbu
(27)
Ko’rinishda olamiz . Ravshanki, ixtiyoriy uchun funksiya (29) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi . Hisoblashlar ko’rsatadiki (25) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi quyidagidan iborat :

Bu sistemaning yechimi
Bu qiymatlarni (27) ga qo’yib berilgan masalaning taqriboy yechimini topamiz:
.

Xulosa
Ushbu kurs ishimda men turli matematik fizika tenglamalarini yechishning sonli variatsion usullarini hisoblashni va ularni hisoblashda ishlatiladigan formulalarni, formulardagi xatolikni baholashni o`rgandim va amaliy ko‘nikmalarga ega bo‘ldim. Bundan tashqari, formulalarni turli muhit (C++ Maple 7, )larda qo`llab hisoblashlarni amalga oshirdim. Yana shuni ta`kidlash mumkinki, biz matematik fizika tenglamalarini yechishning sonli variatsion usullarini hisoblash jarayonida asosiy e`tiborga olinadigan jihat bu hisoblashni iloji boricha kamaytirib, natijaga erishish va bu natijaga erishish uchun turli metod, formulalarni qo`llashdir. matematik fizika tenglamalarini yechishning sonli variatsion usullaridan: Rits usuli , Galyorkin metodi, chekli elementlar usullarini o`rganib chiqdim.. Bu usullarni turli dasturlash muhitlaridan foydalanib hisoblashning bir afzalligi shundan iboratki, foydalanuvchi xatolikga yo‘l qo‘ymasligi uchun yoki xato yechib qo‘ygan bo‘lsa , tez tuzatib olish uchun dasturda ishlatilgan o‘zgaruvchilar oldindan qaysi turga mansubligi belgilab qo‘yilgan bo‘ladi.Shu bilan birga dasturning barcha elementlari haqida ma‘lumot tavsiflash bo‘limida mujassamlashgan bo‘ladi operatorlar esa imkon darajasida kamaytirilgandir. C++ dasturlash tili esa hozirgi kunda ommalashgan va ishlash imkoniyati qolgan dasturlash tillariga qaraganda kattaroq hisoblanadi va ishlash samaradorligi ham yuqori. Albatta bu dasturlash tillarining hisoblash imkoniyatiga ham bog’liq.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1.M. Isroilov “Hisoblash metodlari 2-qism ”. darslik Toshkent-2008
2. Ismatullayev, Kosbergenova “Hisoblash usullari”. O`quv uslubiy qo`llanma. Toshkent-2014.
3. T. X. Xolmatov ― Informatika. Darslik. Toshkent-2016.
4. Л. И. Турчак ― Основны численных методов ‖. Москва << Наука >> 1987 год.
5. E. Mirzakarimov “ Sonli usullar va dasturlash”. O`quv uslubiy qo`llanma. Farg`ona-2009.
5. Internet saytlari: www.ref.uz www.ziyonet.uz.