C[a,b] da uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan cheksiz to‘plamlar mavjud bo‘lib, ulardan yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Masalan, C[0,1] da 𝑥,𝑥2,𝑥3,… funksiyalar ketma-ketligini qaraylik.
Bu funksiyalar ketma-ketligi [0;1] da chegaralangan, uning limit funksiyasi
0,𝑎𝑔𝑎𝑟 0≤𝑥 <1,
1,𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑥 =1
bo‘lib, u uzluksiz funksiya emas, ya’ni C[0,1] ga tegishli emas. Yuqoridagi ketma-ketlikning ixtiyoriy qism ketma-ketligi ham (1) funksiyaga yaqinlashadi, ya’ni C[0,1] da yaqinlashmaydi.
C[0,1] da kompaktlik shartini keltiramiz. Avval quyidagi tushunchalarni kiritamiz.
1-ta’rif. Aytaylik Mto‘plam [𝑎,𝑏] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalarning biror to‘plami bo‘lsin. Agar barcha 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] va Mto‘plamdan oligan barcha 𝑓(𝑥) funksiyalar uchun |𝑓(𝑥)|<𝑘 tengsizlikni qanoatlantiruvchi kson mavjud bo‘lsa, M funksiyalar to‘plami tekischegaralangan deyiladi.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy 𝜀 >0 son uchun shunday 𝛿 >0 son topilib,
|𝑥1−𝑥2|<𝛿
tengsizlik bajarilganda, Mto‘plamga tegishli ixtiyoriy 𝑓(𝑥) funksiya uchun
|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|<𝜀 bo‘lsa, Mto‘plam tekis darajadauzluksizdeyiladi.
Teorema (Arsel teoremasi). [𝑎,𝑏] segmentdaaniqlangan uzluksizfunksiyalardaniboratMto‘plam𝐶[𝑎,𝑏] fazodakompakt bo‘lishiuchunMto‘plamningtekischegaralanganvatekis darajadauzluksizbo‘lishi zarurva yetarli. Isbot.Zaruriyligi. Aytaylik, Mkompakt to‘plam bo‘lsin. M to‘plam tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz ekanligini isbotlaymiz.
Avval Mning tekis chegaralanganligini ko‘rsatamiz. To‘la metrik fazoda to‘plamning kompakt bo‘lishining zaruriy va
yetarli shartiga ko‘ra ixtiyoriy 𝜀 >0 son uchun 3to‘rni tashkil qiluvchi
𝑓
𝑘
2
1(𝑥),𝑓 (𝑥),…,𝑓 (𝑥) (1)
funksiyalar mavjud bo‘ladi. Bu funksiyalarning har biri [𝑎,𝑏] da
𝑖
uzluksiz bo‘lganligi uchun chegaralangan bo‘ladi, ya’ni |𝑓(𝑥)|<
𝐿𝑖,𝑖 =1,2,…,𝑘 bo‘ladi. Chekli 𝜀to‘rning ta’rifiga ko‘ra Mdan olingan ixtiyoriy 𝑓(𝑥) uchun (1) dagi soni chekli funksiyalar
𝑖
orasida 𝑓(𝑥)funksiya topilib, uning uchun
𝑖
𝑖
𝜌(𝑓,𝑓)= max|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)|< 𝜀 𝑎≤𝑥≤𝑏
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Natijada
|𝑓|≤|𝑓|+𝜀≤𝐿 +𝜀≤𝐾, 𝐾 = max 𝐿 +𝜀,
1≤𝑖≤𝑘 ya’ni Mtekis chegaralangan bo‘ladi.
Endi Mto‘plamning tekis darajada uzluksiz ekanligini
ko‘rsatamiz. (1) funksiyalarning har biri uzluksiz, [a,b] da tekis
uzluksiz va ularning soni chekli. Demak, 𝜀uchun shunday 𝛿𝑖son
mavjudki, buning uchun quyidagilarni yozish mumkin:
𝑖 𝑖
agar |𝑥1−𝑥2|<𝛿𝑖bo‘lsa, u holda |𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|<𝜀. 𝜌=
𝑖
min 𝛿 belgilash kiritamiz.
𝑖
𝑖
1≤𝑖≤𝑘Agar |𝑥1−𝑥2|<𝛿 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 𝑓 ∈𝑀 uchun 𝑓 ning (1) funksiyalar orasidan 𝜌(𝑓,𝑓)<3tengsizlikni qanoatlantiradiganini olib, quyidagi munosabatni yoza olamiz:
|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
=|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)+𝑓(𝑥2)
−𝑓(𝑥2)|≤
2
𝑖
1
1
𝑖
1
≤|𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 )|+|𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 )|
𝑖
+|𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥2)|<<3+𝜀+𝜀=𝜀
Bu esa M to‘plamning tekis darajada uzluksizligini isbotlaydi.
Yetarligi. Mtekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo‘lsin. Agar ixtiyoriy > 0 uchun unga nisbatan 𝐶[𝑎,𝑏] da chekli to‘r mavjud bo‘lsa, bu Mto‘plamning 𝐶[𝑎,𝑏] da kompaktligini ko‘rsatgan bo‘lamiz.
Ixtiyoriy >0 son uchun >0 ni shunday tanlab olamizki,
|𝑥1−𝑥2|<𝛿, 𝑓(𝑥)∈𝑀 uchun |𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|<𝜀bo‘lsin. Endi 𝑥𝑂𝑦 tekislikda 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏, −𝐾 ≤𝑦 ≤𝐾 to‘g‘ri
to‘rtburchakni quyidagicha tanlaymiz:
|𝑥𝑘+1−𝑥𝑘|<𝛿, |𝑦𝑘+1−𝑦𝑘|< 𝜀.
Ya’ni, uni 𝑎 =𝑥0<𝑥1<⋯<𝑥𝑛=𝑏, −𝐾 =𝑦0<𝑦1<⋯< 𝑦𝑛=𝐾 bo‘linish nuqtalari yordamida o‘zaro teng to‘g‘ri burchakli to‘rtburchaklarga ajratamiz (3-rasm). Grafigi kichik to‘g‘ri to‘rtburchaklar diagonallaridan tuzilgan, ya’ni grafigi uzluksiz siniq chiziqlardan iborat (𝑥) funksiyalarni qaraymiz. Bunday funksiyalar chekli to‘plam tashkil qiladi. Bu to‘plamning Muchun to‘r tashkil qilishini ko‘rsatamiz. Mto‘plamdan ixtiyoriy 𝑓(𝑥) funksiya olamiz, (𝑥) funksiya 𝑓(𝑥) funksiyadan eng kam uzoqlashgan funksiya, 𝑥𝑘nuqta 𝑥 nuqtaga chap tomondan eng yaqin bo‘lgan bo‘linish nuqtasi bo‘lsin. U holda
𝑘
𝑓(𝑥) funksiyaning tekis uzluksizligidan |𝑥−𝑥 |<𝛿 da
|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥𝑘)|<𝜀tengsizlikning, to‘g‘ri burchakli
to‘rtburchaklarni va 𝜑(𝑥) funksiyani tuzishimizga ko‘ra |𝑓(𝑥𝑘)−𝜑(𝑥𝑘)|<𝜀, |𝜑(𝑥𝑘)−𝜑(𝑥)|<𝜀tengsizliklar o‘rinli
bo‘ladi. Bu tengsizliklarni e’tiborga olsak,
|𝑓(𝑥)−𝜑(𝑥)|=|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥𝑘)+𝑓(𝑥𝑘)−𝜑(𝑥𝑘)+𝜑(𝑥𝑘)−
𝜑(𝑥)|≤|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥𝑘)|+|𝑓(𝑥𝑘)−𝜑(𝑥𝑘)|+|𝜑(𝑥𝑘)−𝜑(𝑥)|, ya’ni |𝑓(𝑥)−𝜑(𝑥)|<𝜀 bo‘ladi.
Demak, grafigi siniq chiziqlardan iborat funksiyalar Mda to‘r tashkil qiladi. Teorema isbot bo‘ldi.