Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja

Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi
Reja:

1. 
   Separabel fazo.
   
2. 
   fazoning separabelligi
   
3. 
   Separabel bo‘lmagan fazoga misol
   
4. 
   Metrik fazoda kompakt to‘plamlar
   
5. 
   Kompaktlik kriteriyasi
   
6. 
   C[a,b] fazodagi to‘plamning kompaktligi va Arsel teoremasi
   

Separabel fazo.
1-ta’rif. (𝑋,) metrik fazoda A, B to‘plamlar uchun 𝐴 ⊃𝐵 bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamda zich deyiladi. Xususan, agar A to‘plam X fazoda zich bo‘lsa, u holda A hamma yerda zich to‘plam deyiladi.
1-misol. Agar (𝑅,) metrik fazoda 𝐴=[0,1]∩𝑄, 𝐵 =[0,1] bo‘lsa, u holda 𝐴=[0,1]⊃𝐵 bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra A to‘plam B to‘plamda zich.
2-misol. Yuqoridagi misolda B sifatida [0,1]∩𝐼 sonlar to‘plamni qaraymiz, bu yerda I irratsional to‘plami. Bu holda ham A to‘plam 𝐵 =[0,1]∩𝐼da zich bo‘ladi.
3-misol. Agar (𝑅,) metrik fazoda 𝐴=[0,1]∩𝐼,𝐵 =[0,1]∩ 𝑄 (yoki B=[0,1] yoki B=[0;0,5]) bo‘lsa, ravshanki 𝐴⊃𝐵 bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra A to‘plam B da zich bo‘ladi.
2-ta’rif. Agar A to‘plam hech bir sharda zich bo‘lmasa, u holda A to‘plam hech qayerda zich emas deyiladi. Ya’ni, agar ixtiyoriy S sharning ichida A to‘plam bilan kesishmaydigan S₁ shar topilsa, A to‘plam hech qayerda zich emas deyiladi.

𝑘
4-misol. (𝑅^𝑛,) metrik fazoda 𝐴 ={𝑒₁,𝑒₂,…,𝑒_𝑛} to‘plam hech qayerda zich emas, bu yerda 𝑒 =(0,0,…,1,0,…0).
5-misol. (𝑅^𝑛,) metrik fazoda ixtiyoriy chekli to‘plam, hech qayerda zich bo‘lmagan to‘plamga misol bo‘ladi.
3-ta’rif. Agar (𝑋,) metrik fazoning hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli yoki chekli to‘plam mavjud bo‘lsa, u holda X separabel fazo deyiladi.
Boshqacha aytganda, agar 𝑋fazoda
𝑥₁,𝑥₂, …,𝑥_𝑛, … (1)
ketma-ketlik mavjud bo’lib, 𝑋dan olingan ixtiyoriy 𝑥uchun unga yaqinlashuvchi (1) ketma-ketlikning

1 2 𝑘
𝑥_𝑛 ,𝑥_𝑛 , …,𝑥_𝑛 , …
qism ketma-ketligi mavjud bo’lsa, u holda (𝑋,)separabel metrik fazo deyiladi.
1-teorema. 𝑅^𝑛 separabel fazo bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, 𝑅^𝑛 fazoda koordinatalari ratsional sonlardan iborat bo‘lgan nuqtalar to‘plami sanoqli bo‘lib, 𝑅^𝑛 ning hamma yerida zich.