Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja

Isbot. (𝑋,𝜌) separabel fazo bo‘lganligi uchun 𝐴=
{𝜉₁,𝜉₂,…,𝜉_𝑛,…}sanoqli to‘plam mavjud bo‘lib, 𝐴=𝑋bo‘ladi. Ushbu belgilashni kiritamiz:

𝑛 𝑛
𝑎 = inf 𝜌(𝜉 ,𝑥), 𝑛=1,2,3,…
_𝑥∈𝑋₀
Ixtiyoriy n, k natural sonlar uchun infimumning xossalariga ko‘ra shunday 𝑥_𝑛𝑘 ∈𝑋₀ nuqta topiladiki, 𝜌(𝜉_𝑛,𝑥_𝑛𝑘)<𝑎_𝑛 +¹ bo‘ladi. Biror 𝜀 >0 sonni olaylik va u ¹ <^𝜀 shartni
qanoatlantirsin. A to‘plam X ning hamma yerida zich bo‘lganligi sababli ixtiyoriy 𝑥₀ ∈𝑋₀ uchun shunday n topiladiki,
𝜌(𝜉_𝑛,𝑥₀)<₃ bo‘ladi.
Demak,

𝜌(𝜉_𝑛,𝑥_𝑛𝑘)<𝑎_𝑛 +_𝑘 ≤𝜌(𝜉_𝑛,𝑥₀)+_𝑘 <₃+₃= ₃

𝜀

2𝜀
U holda

𝜌(𝑥₀,𝑥_𝑛𝑘)<𝜌(𝑥₀,𝜉_𝑛)+𝜌(𝜉_𝑛,𝑥_𝑛𝑘)<₃+ ₃ =𝜀
Shunday qilib, ixtiyoriy 𝑥₀ ∈𝑋₀ nuqtaning ixtiyoriy atrofida 𝑥_𝑛𝑘 ∈𝑋₀ ko‘rinishdagi nuqta mavjud. Ya’ni {𝑥_𝑛𝑘} ko‘rinishdagi to‘plam 𝑋₀ fazoning hamma yerida zich. Demak, 𝑋₀ separabel metrik fazo.
Metrik fazoda kompakt to‘plamlar
Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar. To‘g‘ri chiziqning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan har qanday cheksiz to‘plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt Bolsano-Veyershtrass teoremasida o‘z ifodasini topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda bunday sodda natija, umuman aytganda, o‘rinli emas. Shuning uchun quyidagi savolning qo‘yilishi tabiiy: Metrik fazoda qanday to‘plamlar sinfi uchun Bolsano-Veyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? Ushbu savol munosabati bilan quyidagi muhim ta’rifni kiritamiz.
1-ta’rif. X metrik fazodagi M to‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy ketma-ketlikdan 𝑀 to‘plamdagi biror elementga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin bo‘lsa, u holda M to‘plam X da kompakt deyiladi.
Misollar. 1) To‘g‘ri chiziqdagi har qanday kesma; 2) Tekislikdagi r>0 radiusli yopiq shar;
3) Tekislikda koordinatalari 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏,𝑐 ≤𝑦 ≤𝑑shartlarni qanoatlantiruvchi (𝑥;𝑦) nuqtalar to‘plami kompakt to‘plamlar bo‘ladi.