Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja



Yüklə 311,42 Kb.
səhifə6/7
tarix17.09.2023
ölçüsü311,42 Kb.
#144738
1   2   3   4   5   6   7
Mavzu Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to\'plmala

Teorema. X tola metrik fazoda joylashgan A to‘plamning kompakt bo‘lishi uchun uning yopiq va to‘la chegaralangan bolishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Aytaylik A kompakt to‘plam to‘la chegaralangan bo‘lmasin, ya’ni biror >0 uchun A dan olingan

3 1 3
ixtiyoriy 𝑥1 nuqta uchun shunday 𝑥2 nuqta mavjudki, 𝜌(𝑥1,𝑥2)≥ 𝜀bo‘ladi. So‘ng shunday 𝑥 nuqta mavjud bo‘ladiki, 𝜌(𝑥 ,𝑥 )≥𝜀, 𝜌(𝑥2,𝑥3)≥𝜀 bo‘ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada
𝜌(𝑥𝑛,𝑥𝑚)≥𝜀, 𝑚 ≠𝑛
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi {𝑥𝑛} ketma-ketlikka ega bo‘lamiz:
Ravshanki, bunday {𝑥𝑛} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Bu esa A ning kompaktligiga zid.
Yetarliligi. X to‘la fazo, A unda to‘la chegaralagan to‘plam bo‘lsin. A ning kompaktligini ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, A to‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy {𝑥𝑛} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Undan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini
isbotlaymiz. Har bir 𝜀𝑘 =𝑘,(𝑘 =1,2,3,…) uchun A da mos 𝜀𝑘 to‘rlarni qaraymiz:

1
𝑥1,𝑥1,…,𝑥𝑘1;

𝑘
𝑥1,𝑥2,…,𝑥21; ………………

1

1 1 1

1
𝜀1 to‘rning har bir nuqtasini markazi 𝜀1 to‘rning 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑘1 nuqtalarida va radiusi 𝜀1 ga teng shar bilan o‘rab chiqamiz. Bu holda {𝑥𝑛} ketma-ketlikning barcha hadlari qurilgan sharlar birlashmasining ichida joylashgan bo‘ladi. {𝑥𝑛} ketma-ketlik hadlari chekiz ko‘p, sharlar esa chekli bo‘lganligi sababli qurilgan sharlardan kamida biri {𝑥𝑛} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlarini o‘z ichiga oladi. Shu sharni 𝑇 bilan belgilaymiz.

1

2
Bu sharda joylashgan {𝑥𝑛} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlaridan tuzilgan to‘plamni 𝐴1 bilan belgilaymiz. 𝜀2 to‘rning 𝑇 shar ichida joylashgan nuqtalarini qaraymiz. Bu nuqtalarning har birini markazi shu nuqtada va radiusi 𝜀2 ga teng bo‘lgan sharlar bilan o‘rab chiqamiz. 𝐴1 to‘plamning barcha nuqtalari radiusi 𝜀2 ga teng bo‘lgan sharlar birlashmasi ichida joylashadi. Bu sharlardan kamida biri 𝐴1 to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalarini o‘z ichiga oladi. Shu xossaga ega bo‘lgan sharni 𝑇 bilan, 𝐴1 ning shu sharga tegishli qismini 𝐴2 bilan belgilaymiz.

1 2 3
Bu jarayonni cheksiz davom ettirib 𝑇 ⊃𝑇 ⊃𝑇 ⊃⋯ sharlar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz. Bu sharlar radiuslari shartga ko‘ra 0 ga intiladi.
Endi {𝑥𝑛} ketma-ketlikdan 𝑥𝑛𝑘 elementlarni quyidagicha ajratib olamiz:

1
𝑥𝑛 ∈𝑇 ,𝑥𝑛 ∉𝑇 ; 𝑥𝑛 ∈𝑇 ,𝑥𝑛 ∉𝑇 ;…

𝑘
Bu holda {𝑥𝑛 } fundamental ketma-ketlik bo‘lib, X fazoning to‘laligiga ko‘ra uning limiti X ga va A yopiq bo‘lganligi uchun A

ga tegishli bo‘ladi. Demak, {𝑥𝑛𝑘} yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘ladi.




Yüklə 311,42 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin