Teorema. Xto‘lametrikfazodajoylashganAto‘plamning kompaktbo‘lishiuchununingyopiqvato‘lachegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. Zarurligi. Aytaylik A kompakt to‘plam to‘la chegaralangan bo‘lmasin, ya’ni biror >0 uchun Adan olingan
3 1 3
ixtiyoriy 𝑥1nuqta uchun shunday 𝑥2nuqta mavjudki, 𝜌(𝑥1,𝑥2)≥ 𝜀bo‘ladi. So‘ng shunday 𝑥 nuqta mavjud bo‘ladiki, 𝜌(𝑥 ,𝑥 )≥𝜀, 𝜌(𝑥2,𝑥3)≥𝜀 bo‘ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada
𝜌(𝑥𝑛,𝑥𝑚)≥𝜀, 𝑚 ≠𝑛
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi {𝑥𝑛} ketma-ketlikka ega bo‘lamiz:
Ravshanki, bunday {𝑥𝑛} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Bu esa Aning kompaktligiga zid.
Yetarliligi. Xto‘la fazo, Aunda to‘la chegaralagan to‘plam bo‘lsin. A ning kompaktligini ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, Ato‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy {𝑥𝑛} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Undan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini
isbotlaymiz. Har bir 𝜀𝑘=𝑘,(𝑘 =1,2,3,…) uchun Ada mos 𝜀𝑘to‘rlarni qaraymiz:
1
𝑥1,𝑥1,…,𝑥𝑘1;
𝑘
𝑥1,𝑥2,…,𝑥21; ………………
1
1 1 1
1
𝜀1to‘rning har bir nuqtasini markazi 𝜀1to‘rning 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑘1nuqtalarida va radiusi 𝜀1ga teng shar bilan o‘rab chiqamiz. Bu holda {𝑥𝑛} ketma-ketlikning barcha hadlari qurilgan sharlar birlashmasining ichida joylashgan bo‘ladi. {𝑥𝑛} ketma-ketlik hadlari chekiz ko‘p, sharlar esa chekli bo‘lganligi sababli qurilgan sharlardan kamida biri {𝑥𝑛} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlarini o‘z ichiga oladi. Shu sharni 𝑇 bilan belgilaymiz.
1
2
Bu sharda joylashgan {𝑥𝑛} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlaridan tuzilgan to‘plamni 𝐴1bilan belgilaymiz. 𝜀2to‘rning 𝑇 shar ichida joylashgan nuqtalarini qaraymiz. Bu nuqtalarning har birini markazi shu nuqtada va radiusi 𝜀2ga teng bo‘lgan sharlar bilan o‘rab chiqamiz. 𝐴1to‘plamning barcha nuqtalari radiusi 𝜀2ga teng bo‘lgan sharlar birlashmasi ichida joylashadi. Bu sharlardan kamida biri 𝐴1to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalarini o‘z ichiga oladi. Shu xossaga ega bo‘lgan sharni 𝑇 bilan, 𝐴1ning shu sharga tegishli qismini 𝐴2bilan belgilaymiz.
1 2 3
Bu jarayonni cheksiz davom ettirib 𝑇 ⊃𝑇 ⊃𝑇 ⊃⋯ sharlar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz. Bu sharlar radiuslari shartga ko‘ra 0 ga intiladi.
Endi {𝑥𝑛} ketma-ketlikdan 𝑥𝑛𝑘elementlarni quyidagicha ajratib olamiz:
1
𝑥𝑛∈𝑇 ,𝑥𝑛∉𝑇 ; 𝑥𝑛∈𝑇 ,𝑥𝑛∉𝑇 ;…
𝑘
Bu holda {𝑥𝑛} fundamental ketma-ketlik bo‘lib, X fazoning to‘laligiga ko‘ra uning limiti X ga va A yopiq bo‘lganligi uchun A
ga tegishli bo‘ladi. Demak, {𝑥𝑛𝑘} yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘ladi.