Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja

2-teorema. C[a,b] metrik fazo separabel fazo bo‘ladi.

𝑟
Isbot. Haqiqatdan ham, koeffitsientlari ratsional sonlardan iborat bo‘lgan ko‘phadlar to‘plami 𝑃 sanoqli to‘plam va bu to‘plam ko‘phadlar to‘plami P da zich, P esa matematik analizdagi Veyershtrass teoremasiga ko‘ra 𝐶[𝑎,𝑏] da zich. Bu esa 𝐶[𝑎,𝑏] ning separabel fazo ekanligini ko‘rsatadi.
3-teorema. 𝑙_𝑝 fazo separabel metrik fazo bo‘ladi.

̅

∞
Isbot. 𝑙_𝑝 (𝑝≥1) fazoning separabel ekanligini isbotlash uchun 𝐷 =𝑙_𝑝 bo‘ladigan 𝐷 ={𝑥 =(𝑥₁,𝑥₂,…),∑_𝑘=1|𝑥_𝑘|^𝑝 <∞} sanoqli to‘plamning mavjudligini isbotlash yetarli.
Aytaylik, 𝑥 ∈𝑙_𝑝bo‘lsin. Bu elementga 𝑙_𝑝 fazoda ushbu ko‘rinishdagi sanoqli to‘plamni mos qo‘yamiz:
𝑥⁽¹⁾ =(𝑥₁,0,0,…,),
𝑥⁽²⁾ =(𝑥₁,𝑥₂,0,…,), …………………………….,
𝑥^(𝑛) =(𝑥₁,𝑥₂,…,𝑥_𝑛,0,…) ………………………………
1

∞


Bunda 𝜌(𝑥,𝑥^(𝑛))=(∑_𝑘=𝑛+1|𝑥_𝑘|^𝑝)^𝑝 bo‘lib, u yetalicha katta n ni tanlash evaziga oldindan berilgan musbat sondan kichik qilib olinishi mumkin.
𝑥^(𝑛) nuqtalar to‘plami bilan bir qatorda quyidagicha aniqlanadigan 𝑟^(𝑛) ratsional nuqtalar to‘plamini qaraymiz:

1

1 2
𝑟⁽¹⁾ =(𝑟 ,0,0,…,), 𝑟⁽²⁾ =(𝑟 ,𝑟 ,0,…,),

1 2 𝑛
……………………………., 𝑥^(𝑛) =(𝑟 ,𝑟 ,…,𝑟 ,0,…)
……………………………

1 2 𝑛
bu yerda 𝑟 ,𝑟 ,…,𝑟 , … ratsional sonlar quyidagi shartlarni
qanoatlantiradi:

1 1
|𝑥 −𝑟 |< ^𝜀 , 2^1+𝑝

2 2
|𝑥 −𝑟 |< ^𝜀 ,
^21+𝑝
…………………..

𝑛 𝑛
|𝑥 −𝑟 |< ^𝜀 ,
^21+𝑝
…………………..
Bunday tanlashni har doim bajarish mumkin. U holda
𝑛 ¹ _𝑝 𝑛 _{𝑝 𝑝 𝑝}

𝑖
𝜌(𝑥^(𝑛),𝑟^(𝑛) )=(∑|𝑥_𝑖 −𝑟|^𝑝) < √∑_2𝑝+𝑖 < ^√₂ =₂
𝑖=1 𝑖=1
Ikkinchi tomondan, yetarlicha katta n larda 𝜌(𝑥,𝑥^(𝑛) )<₂ o‘rinli. Demak,
𝜌(𝑥,𝑟^(𝑛) )≤𝜌(𝑥,𝑥^(𝑛) )+𝜌(𝑥^(𝑛),𝑟^(𝑛) )<𝜀 yetarlicha katta
n larda o‘rinli. Bundan 𝑥 nuqtaning ixtiyoriy atrofida 𝑟^(𝑛) nuqtalar mavjud. Bunday nuqtalar to‘plami sanoqli. Shuning uchun 𝑙_𝑝 fazo, xususan, 𝑙₂ fazo ham separabel fazo ekan.

𝑳_𝒑[𝒂,𝒃]fazoning separabelligi

Teorema. 𝐿_𝑝[𝑎,𝑏]fazo separabel metrik fazo bo‘ladi.
Isbot. Quyidagicha aniqlangan chegaralangan o‘lchovli funksiyalar to‘plamini qaraymiz:

{
𝑥(𝑡), 𝑎𝑔𝑎𝑟 |𝑥(𝑡)|≤𝑁, ^𝑁 𝑁,𝑎𝑔𝑎𝑟 |𝑥(𝑡)|>𝑁
Ravshanki, ixtiyoriy 𝜀 >0va ixtiyoriy 𝑥(𝑡)∈𝐿_𝑝[𝑎,𝑏]uchun
yetarlicha katta N larda 𝑥_𝑁(𝑡)funksiyani topish mumkinki,
1
^𝑏 𝑝
𝜌(𝑥,𝑥_𝑁)=(∫|𝑥(𝑡)−𝑥_𝑁(𝑡)|^𝑝 𝑑𝑡) < ^𝜀 (1)
𝑎

𝜀
bo‘ladi. C[a,b] fazoning xossasiga ko‘ra ixtiyoriy >0 va ixtiyoriy 𝑥_𝑁(𝑡) funksiya uchun 𝑦(𝑡)∈𝐶[𝑎,𝑏]mavjud bo‘lib,
𝜌(𝑦,𝑥_𝑁)<₃ (2)

o‘rinli bo‘ladi.

𝜀
O‘z navbatida [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy 𝑦(𝑡) funksiya uchun ratsional koeffitsientli 𝑃(𝑡) ko‘phad mavjud bo‘lib,
𝜌(𝑦,𝑃)<₃ (2)
o‘rinli bo‘ladi. (1), (2), va (3) munosabatlardan 𝜌(𝑥,𝑃)<𝜀 ekanligi kelib chiqadi.
Ma’lumki, 𝑃(𝑡) ko‘phadlar to‘plami sanoqli demak, yuqoridagi mulohazalardan bu to‘plam 𝐿_𝑝[𝑎,𝑏] da sanoqli zich to‘plam bo‘ladi. Bu esa 𝐿_𝑝[𝑎,𝑏] ning separabel fazo ekanligini isbotlaydi.
Separabel bo‘lmagan fazoga misol
Endi m fazoning separabel emasligini isbotlaymiz. Buning uchun 𝑀 ={𝑥 =(𝑥₁,𝑥₂,…,𝑥_𝑖,…),𝑥_𝑖 =0 𝑦𝑜𝑘𝑖 1 to‘plamni qaraymiz. M to‘plamning har bir elementi 𝑚 fazoga tegishli ekanligi ravshan. M to‘plamning ixtiyoriy ikkita elementi orasidagi masofa ga teng. M to‘plamning quvvati kontinuumga teng, haqiqatdan ham, M to‘plamdan olingan har bir 𝑥 = (𝑥₁,𝑥₂,…,𝑥_𝑖,…) nuqtaga 0,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ikkilik kasrni mos qo‘yamiz. Bu moslik o‘zaro bir qiymatli. Ravshanki, barcha ikkilik kasrlar to‘plamining quvvati kontinuumga teng.
Endi 𝑚 separabel bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda 𝑚 ning hamma yerida zich bo‘lgan A to‘plam mavjud bo‘ladi. A to‘plamning har bir elementi atrofida radiusi 𝜀 =¹ ga teng
bo‘lgan sharni olamiz. U holda bu sharlarning birlashmasida m fazoning hamma elementlari joylashgan bo‘ladi. Ammo sharlarning soni ko‘pi bilan sanoqli bo‘lganligi sababli M to‘plamning kamida ikkita 𝑥 va 𝑦 elementi bitta sharga tegishli bo‘ladi. Shu sharning markazi 𝑥nuqtada bo‘lsin. U holda
1=𝜌(𝑥,𝑦)≤𝜌(𝑥,𝑥)+𝜌(𝑥,𝑦)≤¹+¹=²
ziddiyat kelib chiqadi. Bu ziddiyat m fasoning separabel emasligini isbotlaydi.
Teorema. Aytaylik, (𝑋,𝜌) separabel metrik fazo bo‘lsin. U holda bu fazoning ixtiyoriy 𝑋₀ qism to‘plami ham 𝜌 metrikaga nisbatan separabel metrik fazo bo‘ladi.