Microsoft Word Materiallar Full

DÖRDÜNCÜ TƏRTİB DİFERENSİAL TƏNLİK ÜÇÜN SPEKTRAL MƏSƏLƏ 

 

Elçin NÜNƏTOV  

Qafqaz Universiteti          

[e-mail]

 

AZƏRBAYCAN

 

 

Aşağıdakı sərhəd məsələsinə baxaq: 

 

 

 

 

y

y

A

y

A

y

II

IV









4

2

2

, (1) 

 

 

 

 

   

0

1

0



 y

y

,   (2) 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

'

'



 y

y

,   (3) 

burada 

A H

-hilbert fəzasında təsir edən müsbət öz-özünə qoşma operatordur. 

İşdə baxılan məsələnin məxsusi ədədlərinin və funksiyalarının tapılması üşün skalyar spektral məsələ yazılmışdır. 

Tutaq ki, 

A

 operatorunun spektri diskretdir. Onda məlumdur ki, bu operatorun məxsusi funksiyalarından ibarət ortonormal 

bazis var. Onun məxsusi  ədədlərini artan sıra ilə düzərək 

 

A

s

s

n

n



 ilə, 

H

 fəzasında tam sistem əmələ  gətirən uyğun 

məxsusi funksiyalarını isə 

n



 ilə işarə edək. Onda 

H

h





üçün ortonormal bazisə görə ayrılış yaza bilərik: 

 

 

 





n

n

n

h

h













1

,

 

 Bundan əlavə olaraq  aşağıdakı Parseval bərabərliyidə ödənilir: 

 

 

 

 













1

2

2

,

n

n

h

h



 

Əgər 

 











,

0

 aralığında kəsilməz funksiyadırsa, onda operatordan aslı funksiya təyin etmək olar: 

 

 

 

 

 

 



 









A

D

f

e

e

f

f

A

n

n

n

n





















,

,

1

 

---

II INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

92 

 Qafqaz University                         

          18-19 April 2014, Baku, Azerbaijan 

Tutaq ki, 

 

t

y

 (1)  tənliyinin həllidir onda bu həll üçün də bazisə görə ayrılış yazmaq olar  və onu aşağıdakı  şəkildə 

göstərmək olar 

 

 

 

 

 

,

1

n

n

n

e

t

y

t

y









 

burada 

 

 





n

n

e

t

y

t

y

,



 aşağıdakı skalyar tənliyin həllidir: 

 

 

 

y

y

s

y

s

y

n

n

II

n

IV









4

2

2





,....

2

,

1



n

 

beləki,  

 

 

 

 

 











1

2

n

n

t

y

 

Bunları  nəzərə alsaq baxılan məsələnin 

nk



 məxsusi  ədədləri və

nk

y

 məxsusi funksiyaları 

n

-in hər bir qiymətində 

aşağıdakı məsələnin məxsusi ədədləri və funksiyaları kimi tapılır: 

 

 

 

n

nk

n

n

n

II

n

n

IV

y

y

s

y

s

y









2

2

2

 

 

 

 

 

 

0

1

0





n

n

y

y

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

'

'





n

n

y

y

 





,...

3

,

2

,

1



n

 

 

 

 

 

О ЛОКАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ПОТЕНЦИАЛА РИССА 

 

Фуад АЛИЕВ 

Бакинский Государственный Университет 

[e-mail] 

 

Пусть 

n

R

n



мерное евклидово пространство точек 





1

2

, , ,

,

n

x

x x

x





 

 





,

: 

, 

0

n

B x r

y

y x

r r





 



R

. Через 

k

P

 обозначим совокупность всех полиномов в 

 

n

R

степень которых 

не  превышает  неотрицательное  целое  число   

k

.  Множество  всех  измеримых  функций, 

 

p

я



степень  модуля 

которых локально суммируема в 

 

n

R

обозначим через 

 

p

n

loc

L

R





1 p

  

..  Класс всех локально ограниченных 

в  

n

R

 функций обозначим через 

 

n

loc

L



R

.  

Для 

 

p

n

loc

f

L



R





1

 

  p

  

введем 

обозначения 

(см. 

 

1

): 

 

 





 

 





1

,

,

,

,

,

inf

,  

, 

0.

p

p

k

k

n

f

f

L B x r

L B x r

p

p

A x r

f

x r

f

x

r





















P

R

 

Пусть 

Φ

 обозначает  класс  всех  положительных  и  монотонно  возрастающих  по  аргументу 

r

 на  интервале 





0;

  



функций 

 

,

x r



, где  

n

x

 R

.   

Для 

 

Φ  





обозначим 

 

 

 

 









:

,

,

,

, 

0 ,

p

n

n

p

loc

f

p

M

f

L

A x r

O

x r

x

r















R

R

 

 

 

,

:

, 

0

,

p

f

n

M

A x r

f

sup

x

r

x r































R

, 

---

II INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

93 

 Qafqaz University                         

          18-19 April 2014, Baku, Azerbaijan 

 

 

 









,

:

,

,

,

, 

0

k

p

n

k

n

p

loc

f

p

L

f

L

x r

O

x r

x

r

















R

R

, 

 

 

,

,

 

:

, 

0

,

k

p

k

f

p

n

L

x r

f

sup

x

r

x r

































R

. 

Рассмотрим интегральный оператор  

 

 





 

 

   

,

1

1

,

!

n

k

t

k

x

f x

K x y

D K

y X

y

f y dy



 































































R

R

 

где 

 





1

2

, 0

, 

,  ,  ,

n

n

K x

x

n









 







 





, 

i





целые  неотрицательные  числа,

1

2

1

2

n

n

x

x x

x













, 

1

2

!

!  ! 

!

n

  







,

1

2

n

  







 

, 



N

,

 

 

1

2

1

2

,

n

n

g

D g

x x

x















  

 

 

1

 

t

X





характеристическая  функция  множества 





:

1

n

t

t





R

.  Оператор 

,

  

k



R

является  некоторой 

модификацией потенциала Рисса.  

Теорема. Пуст 

1

,  

, 0

, 

Φ,

p

n







  



 



N  

 

 

 





1

 

,

,

n

n

k

k

p

p

r

r

t

x r dt O

x r











 

   





, 

, 0

n

x

r





R

. 

Тогда  оператор 

,

  

k



R

ограниченно  действует  из  пространства

M





 в  пространство

1

, 

k

p

L



 где 

1

, 

k

p

L



, 

 

 

1

,

,

x r

r

x r











.