və ya
. (3)
Bu bərabərlikdən istifadə edərək, bir çox funksiyaların təqribi qiymətlərini hesablamaq üçün sadə düsturlar almaq olar.
MÜHAZİRƏ-5 Diferensial hesabının əsas teoremləri (Roll, Laqranj, Koşi teoremləri).
Roll, Laqranj və Koşi teoremləri diferensial hesabının əsas teoremləri adlanır. Bu teoremlərə bəzən «orta qiymətlər haqqında teoremlər» də deyilir.
1.Teorem (Roll teoremi). parçasında kəsilməyən, intervalında diferensiallanan və həmin parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətləri alan funksiyası üçün həmin intervalında yerləşən heç olmasa bir elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra bərabərdir, yəni .
İsbatı. Funksiya parçasında sabit olduqda in törəməsi intervalının bütün nöqtələrində sıfra bərabərdir və nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar.
İndi fərz edək ki, funksiyası sabit deyil. O, parçasında kəsilməyən olduğundan Veyerştrasın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı ( ) və dəqiq yuxarı ( ) sərhədlərinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır. Sabit olmayan funksiyası üçün olar və şərtinə görə funksiya və sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alar. Tutaq ki, funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili nöqtəsində alır: . Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyari üçün buradan olduqda (1), olduqda (2). şərtində (1) və (2) bərabərliklərində limitə keçsək:
və münasibətlərinə əsasən olar. funksiyası dəqiq yuxarı sərhəddini parçanın daxili nöqtəsində aldıqda törəmənin sıfra bərabər olduğu nöqtəsinin varlığı eyni qayda ilə isbat olunur. Roll teoreminin həndəsi mənası belədir: funksiyasının parçasında qrafiki olan əyrinin uc nöqtələri olduqda şərti ödənilirsə, onda həmin əyri üzərində ən azı elə
bir C nöqtəsi var ki, bu nöqtədə əyriyə çəkilmiş şəkil 1toxunan vətərinə paraleldir(Şəkil 1).
